АЛГЕБРА (3-й семестр)

нет. Более того, даже критериев приводимости и неприводимости над произвольным

полем P нет.
В этом параграфе мы укажем способ, который позволяет выделить произведение неприводимых множителей одинаковой кратности, а это во многих случаях облегчает задачу разложения на неприводимые множители.
Введем сначала понятие кратного неприводимого множителя многочлена.

полем P многочлен p(x) является множителем кратности k для многочлена

f(x) из кольца P[x] или что p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k, если f(x) делится на p(x)k и не делится на p(x)k+1,
т.е. многочлен f(x) представим в виде
f(x)= p(x)kq(x), (1)
где q(x) не делится на p(x).
Множители кратности 1 называются простыми.

а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит

в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной f’(x) с кратностью k-1.
◘ В самом деле, дифференцируя равенство
f(x)= p(x)kq(x), (1)
получим
.
Второе слагаемое в квадратной скобке делится на p(x), но первое не делится, т.к. p’(x) и q(x) не делятся на p(x).
Следовательно, сумма в квадратной скобке не может делиться на p(x).
Таким образом, p(x) входит в разложение f ’(x) с кратностью k-1 ◙

а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит

в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1.
Следствие 1. Если c – корень многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k-1 для его производной.
Следствие 2. Если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов, то
. ◙

Следствие 3. Многочлен над полем Р не имеет кратных множителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост со своей производной.

.
Введем обозначения:
Y1, Y2, …,Ys – произведение всех неприводимых нормированных множителей соответственно кратности 1, 2, …, k в каноническом разложении f(x).
Тогда . (2)
Наша задача будет состоять в том, чтобы найти многочлены Y1, Y2, …,Ys .

теперь многочлены

следующее за ним равенство, получим равенства:
.

Подставляя теперь найденные значения anY1,Y2,…,Ys

в равенство (2), имеем
,


где

.

.
Решение. 1) Находим многочлены Di :
,
;
, ;
, .
2) Находим многочлены Еi:

, , .

3) Находим многочлены Yi:

, , .

Ответ: .

того, что любая правильная рациональная дробь является суммой простейших.

коэффициентами из поля Р является областью целостности, для него можно

построить поле частных P(x).
Элементы этого поля
определяются парой многочленов f(x) и h(x)0 из кольца P[x] и называются рациональными дробями.
Само поле P(x) называется полем рациональных дробей.
Как и в любом поле, в P(x) имеют место обычные условия равенства двух дробей и правила их сложения, вычитания, умножения и деления.

выражать единственным образом, сократив их, т.е. поделив числитель и знаменатель

на их НОД. Тогда числитель и знаменатель будут взаимно просты.
Определение 1. Если в рациональной дроби
степень числителя меньше степени знаменателя, то она называется правильной.
Нулевой многочлен 0 тоже будем считать правильной дробью.

а 1. Всякая рациональная дробь

представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P[x] и правильной дроби.
◘ По теореме о делении с остатком для многочленов имеем f(x)=h(x)q(x)+r(x), degr(x)< degh(x). Отсюда по правилам сложения дробей



где q(x) – многочлен из P[x] , а – правильная дробь. Предположим, что
где degr*(x)< degh*(x) . Тогда

,
где слева записан многочлен, а справа – правильная дробь.

а 1. Всякая рациональная дробь

представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P(x) и правильной дроби.





Это равенство возможно лишь при q(x)-q*(x)=0 .
Но тогда и
.

Таким образом,
q(x)=q*(x),

и единственность представления доказана. ◙

если ее знаменатель является степенью неприводимого над полем Р многочлена

p(x) (т.е. h(x)= p(x)k, где k1) и degf(x)Понятно, что простейшая рациональная дробь является правильной.
Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

◘ Пусть – правильная дробь. Рассмотрим сначала случай, когда , где НОД(s(x),t(x))=1. По теореме о линейном представлении НОД многочленов существуют такие многочлены , что справед-ливо равенство
.
Отсюда, умножая это равенство на f(x), получаем равенство
. (1)
Поделив с остатком многочлен на t(x), получим
degu(x)< degt(x) . (2)

а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

. (1)
degu(x)< degt(x) . (2)
Тогда равенство (1) можно записать в виде
, где . (3)
Так как согласно (2) и по условию
, то из (3) и, следовательно,
degv(x)< degs(x) . (4)
Таким образом, в силу (2), (3) и (4) имеем
,
, где

,т.е. дробь при условии, что НОД(s(x),t(x))=1 разложима в сумму правильных дробей.

а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

Каждое из полученных слагаемых тоже можно разложить в сумму правильных дробей, если их знаменатели разлагаются в произведение взаимно простых многочленов.
Итак, если – разложение многочлена в произведение неприводимых над полем Р многочленов, то индукцией доказывается, что


где при i=1, 2,…, s .
Это означает, что достаточно научиться разлагать в сумму простейших правильную дробь вида

где p(x) – неприводимый многочлен кольца Р[x].

а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

Разделим многочлен u(x) на p(x)k-1 , остаток – на p(x)k-2 и т.д. Запишем соответствующие равенства:



……………………………………………………………


Поскольку , то

Аналогично проверяется, что
при i=1,2,…, s.

а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

……………………………………………………………….

Складывая полученые равенства, получаем:

и, следовательно,
,

где при при i=1,2,…, s . ◙

Замечание 1. Нетрудно также доказать единственность такого представления.

в сумму простейших дробей в поле R(x), если

и
◘ Требуемое разложение ищем в виде
.

Коэффициенты A, B, C, D, E находим методом неопределенных коэффициентов. Имеем

степенях слева и справа.
Но разумнее другая модификация метода неопределенных

коэффициентов.
В последнем равенстве будем придавать такие значения для x, при которых коэффициенты при некоторых из неизвестных A, B, C, D, E обращаются в нуль, и тем самым получим уравнения или системы уравнений, связывающие эти неизвестные:

;
2) ;

3) x=0  x=-1  .

Отсюда, учитывая, что A=3 и B=1, получаем систему
, (5)
из которой находим D=1;
4) .
Присоединяя первое из уравнений системы (5) –C+E=-1, находим C=-2 и E=-3.

A=3 , B=1, C=-2 , D=1 и E=-3.
Окончательно имеем




Замечание

2. Как известно, теорема 2 широко используется в курсе математического анализа при интегрировании.