Алгебра высказываний. Формальные теории. Предикаты.

«Всякое S суть Р»
Е – общеотрицательное суждение

«Никакое S не суть Р»
I – частноутвердительное суждение
«Некоторые S суть Р»
О – частноотрицательное суждение
«Некоторые S не суть Р»

Пример парадокса:
“Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ. – Сказанное Сократом – истинно, - говорит Платон”

силлогизм

– четное число» – ложное, «студент 2 курса» – не

высказывание, т.к. не является утверждением, «х-1=4» –
не высказывание, т.к. неизвестно, какое значение примет х

Логические операции - отрицание « ¬ », конъюнкция – двухместная логическая операция ∧ («и») – по высказываниям А, В определяет высказывание А ∧ В («А и В»), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны. Дизъюнкция – двухместная логическая операция ∨ («или») – по высказываниям A, B определяет высказывание A∨В («A или B»), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний A, B – истинно. Импликация – двухместная логическая операция → («если…, то…») – по высказываниям А, В определяет высказывание А→В («если А, то В»), которое ложно тогда и только тогда, когда А - истинно, В – ложно. А называется посылкой, В – заключением. Эквиваленция – двухместная логическая операция ↔ («если и только если…, то…») определяет высказывание А ↔ В («если и только если А, то В»), которое истинно тогда и только тогда, когда А, В оба истинны или оба ложны.

B ∨ A, A∧ B = B ∧ A.
2. Ассоциативность:
(

A∨ B )∨ C = A∨ (B ∨ C), A∧ (B ∧C) = (A∧ B)∧C.
3. Дистрибутивность:
A∨ (B ∧C) = (A∨ B)∧ (A∨ C), A∧ (B ∨ C) = (A∧ B)∨ (A∧C).
4. Идемпотентность: A∨ A = A, A∧ A = A.
5. Закон двойного отрицания: ¬¬A = A.
6. Закон исключения третьего: A∨ ¬A = 1.
7. Закон противоречия: A ∧ ¬A = 0.
8. Законы де Моргана:
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B, ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.
9. Свойства операций с логическими константами:
A∨1 =1, A∨ 0 = A, A∧1 = A, A∧ 0 = 0 .

Здесь A, B и C – любые буквы.

вывода

Определение. Выводом формальной теории называется последовательность формул A1, A2 ,

…, An , в которой все формулы – либо аксиомы, либо получаются из предыдущих по правилам вывода.
Определение. Говорят, что формула A выводима из множества формул Γ (обозначение: Γ ├ A), если существует вывод A1, A2 , …, An , где An = A, и есть три возможности:
• Ai ∈Γ ;
• Ai - аксиома;
• Ai получаются из предыдущих формул по правилам вывода.

высказывание) – заглавные буквы латинского алфавита (иногда с индексами –

натуральными числами): A,B ,C,... , A1 , B1 ,C1 ,…
• Логические связки: ¬,→.
• Скобки: (, ).
Иногда в исчислении высказываний допускаются формулы с другими логическими связками, но при этом учитывается, как они выражаются через инверсию и импликацию. Так, A∧ B = ¬(A→¬B), A∨ B = ¬A→ B .
2. Формулы определяются следующим образом.
Определение. 1) Всякая пропозициональная буква есть формула. 2) Если A, B – формулы, то формулами являются также ¬A, A→ B. 3) Символ является формулой тогда и только тогда, когда это следует из 1) и 2).
3. Аксиомы задаются тремя схемами аксиом:
А1. A→(B→ A).
А2. (A→(B→C))→((A→ B)→(A→C)).
А3. (¬B→¬A)→((¬B→ A)→ B).
4. Правило вывода Modus ponens (сокращенно MP) – правило отделения
A, A→B├B .

Γ – множество формул, A, B – формулы. Тогда Γ

, A├B ⇒Γ ├ A→ B.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема. Γ ├ A→ B ⇒Γ , A├B .
Докажем, что выводима формула (¬B→¬A)→(A→ B).
Сокращенно это записывается так: ├(¬B→¬A)→(A→ B).
По теореме, обратной теореме дедукции, посылку можно перенести в левую часть: ¬B→¬A├ A→ B. Проделаем эту операцию еще раз: ¬B→¬A, A├B .
Таким образом, нам нужно доказать, что из формул ¬B→¬A и A выводима формула B. Сначала мы запишем гипотезы.
1. ¬B→¬A – гипотеза.
2. A – гипотеза.
Формулу B удобно получить из аксиомы А3. Поэтому запишем эту аксиому:
3. (¬B→¬A)→((¬B→ A)→ B) А3.
К формулам 1 и 3 можно применить правило вывода Modus ponens
4. (¬B→ A)→ B. МР 1, 3.
Посылку в формуле 4 можно получить из аксиомы А1, если заменить B на ¬B:
5. A→(¬B→ A). А1 с подстановкой вместо B – ¬B.
Далее дважды применяем правило Modus ponens:
6. ¬B→ A. МР 2, 5.
7. B . МР 6, 4.

:
1. Замена импликации по формуле: A→ B = ¬A∨ B.

В результате в формуле остаются связки: ¬ , ∨ , ∧ .
2. Преобразование выражений с инверсиями по закону двойного отрицания:
¬¬A = A, законам де Моргана: ¬(A∨ B) = ¬A ∧¬B, ¬(A∧ B) = ¬A∨ ¬B. В результате инверсии остаются только перед буквами.
3. Приведение формулы к конъюнктивной нормальной форме с помощью дистрибутивных законов:
A∧ (B ∨ C) = (A∧ B)∨ (A∧C),
A∨ (B ∧C) = (A∨ B)∧ (A∨ C).
4. Преобразование конъюнктивной нормальной формы во множество предложений AB⇒ A,B.
Правило резолюций. Даны предложения: С1 = P ∨ C1′ , С2 = ¬P ∨C2′ , где P - пропозициональная буква, C′1 и C2′ – предложения (в частности, пустые или содержащие только одну букву или ее отрицание). Правило резолюций формулируется так: С1 , С2 ├ C1′ ∨ C2′ . С1 , С2 называются резольвируемыми предложениями, а C1 ′ ∨ C2′ – резольвентой.

B) .
Доказательство. Запишем инверсию исходной формулы:
¬(¬A→(A→ B)).
Заменим все импликации по

соответствующей формуле:
¬(¬A→(A→ B)) = ¬(¬¬A∨ (¬A∨ B)).
Применим закон двойного отрицания и закон де Моргана:
¬(¬A→(A→ B)) = ¬(A∨ (¬A∨ B)) = ¬A∧¬(¬A∨ B) =
= ¬A∧¬¬A∧¬B = ¬A∧ A∧¬B .
Получаем предложения: ¬A, A, ¬B. Резольвируем их:
1. ¬A – предложение.
2. A – предложение.
3. ¬B – предложение.
4. ?. R 1, 2.

A∧ B).
Доказательство. Запишем инверсию исходной формулы:
¬(A→(B→ A∧ B)).
Заменим все импликации

по соответствующей формуле:
¬(A→(B→ A∧ B)) = ¬(¬A∨ (¬B ∨ A∧ B)).
Применим закон двойного отрицания и закон де Моргана:
¬(A→(B→ A∧ B)) = ¬¬A∧¬(¬B ∨ (A∧ B)) =
= A∧ B ∧¬(A∧ B) = A∧ B ∧ (¬A∨ ¬B).
Получаем предложения: A, B , ¬A∨ ¬B.
1. A – предложение.
2. B – предложение.
3. ¬A∨ ¬B – предложение.
4. ¬B. R 1, 3.
5. ?. R 2, 4.

функция, каждый аргумент которой принадлежит множеству X, а значениями которой

являются 0 или 1.
Примеры. 1. Предикат A(x) ="x ≤ 2" на множестве X = R – одноместный.
2. Предикат B(x, y) ="xy > 0" на множестве X = R2 – двуместный.

Пусть дан n -местный предикат A(x1, x2 ,..., xn ) на множестве X , означающий, что для набора (x1, x2 ,..., xn ) выполнено свойство A, и пусть xi – одна из переменных. Тогда запись ∀xiA(x1, x2 ,..., xn ) означает, что для всех значений переменной xi свойство A выполнено. Символ ∀ называется квантором всеобщности (общности). Предикат ∀xi A(x1, x2 ,..., xn ) является (n −1)-местным. Он зависит от переменных x1, x2 ,..., xi−1, xi+1,..., xn . Если дан одноместный предикат P(x) , то утверждение ∀xP(x) представляет собой нульместный предикат, то есть истинное или ложное высказывание.
Пример. На множестве X = R дан предикат A(x) ="x ≤ 2". Высказывание ∀x(x ≤ 2) ложно.

11

xn ) на множестве X , означающий, что для набора

(x1, x2 ,..., xn ) выполнено свойство A, и пусть xi – одна из переменных. Тогда запись ∃xi A(x1, x2 ,..., xn ) означает, что существует значение переменной xi , такое, что выполняется свойство A. Символ ∃ называется квантором существования. Предикат ∃xi A(x1, x2 ,..., xn ) является (n −1)-местным. Если дан одноместный предикат P(x) , то утверждение ∃xP(x) представляет собой нульместный предикат, то есть истинное или ложное высказывание.
Примеры.
1. На множестве X = R дан предикат A(x) =" x ≤ 2". Высказывание
∃x(x ≤ 2) истинно.
 
2. Х={1,2,3,…} – множество натуральных чисел;
а) Р(x):= «x делится на 2». Р(2)= «истина», Р(3)= «ложь»;
б) Р(x1, x2): «x1≥ x2». Р(1,2)= «ложь», Р(3,2)= «истина».

12

= ¬∃xi¬A.
¬∃xiA = ∀xi¬A. ¬∀xi A = ∃xi¬A.
∀x∀yP(x, y) =

∀y∀xP(x, y) , ∃x∃yP(x, y) = ∃y∃xP(x, y) .

Разноименные кванторы можно переставлять только следующим образом:
∃x∀yP(x, y)→∀y∃xP(x, y) , ∃y∀xP(x, y)→∀x∃yP(x, y) .
Обратные формулы неверны.

Пример. Очевидно, что высказывание ∀x∃y(x + y = 0) ( X = R) истинно. Поменяем кванторы местами. Получим высказывание ∃y∀x(x + y = 0), которое является ложным.

Выражения с кванторами можно преобразовывать следующим образом:
∀x(P(x) ∧Q(x)) = ∀xP(x) ∧∀xQ(x) , ∃x(P(x) ∨Q(x)) = ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)

13

– это имена (обозначения) предметов.
• Предметные переменные – буквы конца

латинского алфавита с натуральными индексами: x1 , x2 , …, y1 , y2 , …
• Предикатные буквы – заглавные буквы латинского алфавита с натуральными индексами, означающие операции над переменными и константами.
• Логические связки: ¬,→.
• Квантор всеобщности ∀ .
• Синтаксические символы – скобки (, ) и запятая.
2. Формула определяется несколькими этапами. Вначале вводится понятие терма.
Определение. 1) Предметные константы и предметные переменные есть термы. 2) Если t1 , t2 , …, tn , – термы, то в результате применения к ней функции получится терм. 3) Символ является термом тогда и только тогда, когда это следует из 1) и 2).
Определение. элементарная формула образуется при применении предикатной буквы к термам.
Пример. если "≤ " - предикатная буква, то sin x ≤ cosax – элементарная формула.
Определение. 1) Всякая элементарная формула есть формула.2) Если A, B – формулы, то формулами являются также символы ¬A, A→ B, ∀yA. 3) Символ является формулой тогда и только тогда, когда это следует из 1) и 2).

делятся на два класса:
• Логические аксиомы:
1) A→(B→ A).
2) (A→(B→C))→((A→ B)→(A→C)).
3)

(¬B→¬A)→((¬B→ A)→ B).
4) ∀xi A(xi )→ A(t), где терм t свободен для переменной xi в формуле A(xi ) .
5) ∀xi (A→ B)→(A→∀xiB), где xi – несвободная переменная в формуле A.
Отметим, что аксиомы 1) – 3) – тавтологии, 4) и 5) – общезначимые формулы.
• Собственные аксиомы.
У каждой теории первого порядка свои собственные аксиомы.
4. Правила вывода.
1) Modus ponens (МР).
A, A→B├B .
2) Правило обобщения Gen.
A├∀xA.

15

∃ x ¬ F(x) , ¬ ∀ x F(x)= ∀

x ¬ F(x);
2) ∀x(F(x) ∧ G(x)) = ∀xF (x) ∧ ∀xG(x), ∃x(F(x) ∨ G(x))=∃F(x) ∨ ∃xG(x);
3)∀x ∀y F(x, y) =∀y ∀ x F(x, y), ∃ x ∃y F(x, y)= ∃y∃ x F(x, y);
4)∀x (F(x)∧С) = ∀x F(x) ∧ С, ∀x (F(x) ∨ С)= ∀x F(x) ∨ С;
5)∃x (F(x)∧С) = ∃ x F(x) ∧ С, ∃ x (F(x) ∨ С) = ∃ x F(x) ∨ С;
6)С → ∀x F(x) = ∀x ( С → F(x)), С→ ∃ x F(x) = ∃ x (С → F(x)).
Эти равносильности называются также законами логики предикатов.
Формула С не содержит вхождений переменной x.
Применяются также законы:
F↔G: = (F→G) ∧ (G→ F), F→ G: = ¬ F∨ С.
¬ F=F, ¬ (F∨С)= ¬ F∧¬ G, ¬ (F∧G)= ¬ F∨¬ G
С помощью равносильностей можно преобразовывать формулы.
Формула ЛП G называется логическим следствием формулы F, если G
истинна во всех интерпретациях, в которых F истинна. Запись: F→ G.
Имеют место логические следования:

7)∃x(F(x)∧G(x)) ∃xF(x)∧∃xG(x), ∀x F(x)∨∀ ∃xG(x)⇒∀x(F(x)∨G(x)) ;
8)∀ xF(x)→H⇒ ∃x(F(x) → H), ∃xF(x)→H⇒ ∀ x(F(x) → H),
где формула Н не содержит вхождений переменной х.

16

терм. Тогда имеют место следующие теоремы.
Формула ∀xF(x)→F(t),где t – терм,

свободный для переменной x в формуле F, есть тавтология.
Формула F(t) →∃ x F(x), где t – терм, свободный для переменной x в формуле F, есть тавтология.

Формула ЛП F называется находящейся в ПНФ, если она имеет вид:
Q1 x1 … Qn xn F0 ,где Qi, i= 1..n – один из кванторов (∀,∃), x i≠ xj, если i≠j,
F0 – формула, не имеющая кванторов.

Пример - Формула ∀x∀y∃z (Q(x,y) →R(z)) находится в ПНФ.

Для любой формулы ЛП существует логически эквивалентная ей форму-
ла, находящаяся в ПНФ. Приведение данной формулы ЛП к ПНФ можно произвести с помощью равносильностей (1-6) и следований (7-8).

17

Q1 x1 …Qn xn F0, где F0 есть конъюнктивная нормальная

форма. Если Qr, 1≤ r ≤n, есть квантор существования в префиксе Q1x1…Qn xn, рассмотрим случаи:
1) никакой квантор общности не стоит в префиксе левее Qr. Тогда выбираем новую ( не встречавшуюся в формуле) константу с и заменяем все xr в F0
на с; вычеркиваем Qr xr из префикса;
2) имеется непустой список Qr1, …, Qrm, 1≤ r1≤ …≤rm< r, всех кванторов общности, встречающихся в префиксе левее Qr. Тогда выбираем новый ( не встречавшийся в формуле функциональный символ f, заменяем все xr в F0 на f(xr1, …, xrm).
Выполняем эту процедуру для всех кванторов существования в префиксе.
Полученная в результате формула имеет, по определению, сколемовскую стандартную форму. Константы и функторы, используемые для замены переменных
кванторов существования, называются скулемовскими функциями.
Пример – Указать ССФ формулы ∃ x ∀y ∀ z ∃u∀v ∃w P(x,y,z,u,v, w).
Ответ - ∀y ∀ z∀v P(x, y, z, f(y, z), v,g(y, z, v)).

18