Алгебра Кабанов Александр Николаевич к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики

кратком виде такую систему записывают

решение. Если решений нет, то несовместной.
Совместная СЛУ называется определенной, если

она имеет единственное решение, и неопределенной, ели решений более одного.
Две СЛУ называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Если все правые части в СЛУ равны 0, то система называется однородной. Иначе – неоднородной.

СЛУ можно записать в виде: AX = B.

квадратная и невырожденная. Тогда для матрицы A существует обратная матрица

A-1.
Умножим слева обе части матричного уравнения на A-1. Получим: A-1AX = A-1B.
Отсюда: X = A-1B.

расширенной матрицы приведем матрицу A к единичной. Тогда матрица B

обратится в A-1B.
Расширенная матрица примет вид (E|A-1B).
После чего можем использовать X = A-1B.

|Ai| – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой i-го

столбца столбцом свободных членов B. Тогда система имеет единственное решение:

преобразованиях строк расширенной матрицы СЛУ (кроме транспонирования) получаются равносильные СЛУ.
На

этой идее основан метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

расширенную матрицу к ступенчатому виду.
Если в матрице A образовалась нулевая

строка при том, что в столбце правых частей в этой строке не ноль, то СЛУ несовместна.
Если матрица A привелась к треугольному виду, то СЛУ имеет единственное решение.
Если в ступенчатой матрице число неизвестных больше числа уравнений, то СЛУ имеет бесконечное множество решений.

только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

этой системы.

В этом случае СЛУ имеет бесконечное множество решений.
Выберем r переменных

и составим матрицу системы из коэффициентов только при этих переменных.
Данная матрица будет квадратной или может быть приведена к квадратной элементарными преобразованиями.

или базисными.
Оставшиеся переменные называются неосновными или свободными.
Решение СЛУ, в котором

все свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным.
Замечание: Выбор базисных переменных неоднозначен.

существования ненулевых решений ранг матрицы системы должен быть меньше числа

переменных.
Если e – решение однородной СЛУ, то и λe тоже будет решением.
Если e1 и e2 – решения однородной СЛУ, то и e1 + e2 тоже будет решением.

любое возможное решение этой СЛУ является линейной комбинацией этих решений.
Теорема

( о фундаментальных решениях однородной системы): Если ранг r матрицы СЛУ меньше числа переменных n, то:
Существует совокупность линейно независимых решений СЛУ.
Число линейно независимых решений равно n – r.
Любое решение СЛУ можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений.

решений (ФНР).
Если расширенная матрица системы не имеет иррациональностей, то всегда

можно построить ФНР с целыми числами.