Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.№283 от

ГОУ ВПО НИ

0

y

x

x

f (x)

y=f (x)

x + x

 x

f (x + x)

y

ГОУ ВПО НИ

Производная функции

Определение. Если существует предел отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента x, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции в точке x
.

Обозначения: y, f (x) или , .

Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

ГОУ ВПО НИ

Физический смысл производной
Производная характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента (скорость процесса в любой момент времени).

С геометрической точки зрения дифференциру-емость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.

ГОУ ВПО НИ

Геометрический смысл производной

ГОУ ВПО НИ

Касательная и нормаль

Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0 ) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0.
Уравнение касательной к графику функции в точке М0(x0, y0): .

Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью.
Уравнение нормали к графику функции в точке М0(x0, y0):

ГОУ ВПО НИ

Правила дифференцирования

Теорема 3. Пусть f (x) и g (x)  дифференцируемые функции и с  константа, тогда справедливы соотношения
1. [c  f (x)] = c f (x) .
2. [ f (x)  g (x) ] = f (x)  g (x) .
3. [ f (x)  g (x) ] = f (x)  g (x) + f (x)  g (x) .
4.  .