Разделы презентаций


Численное дифференцирование презентация, доклад

Содержание

При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от   - точке, в которой

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1К численному (приближенному) дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять

производные от функций, заданных таблично, или, когда непосредственное дифференцирование затруднительно.
Численное

дифференцирование  
К численному (приближенному) дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или, когда

Слайд 2При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один

из способов найти производную
 

- это взять достаточно малые значения справа

и слева на равном расстоянии от
 
- точке, в которой мы хотим найти производную.
При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это взять достаточно

Слайд 3Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка. По значениям f'

можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''.

Можно выразить f'' непосредственно через f(x):  
Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.  По значениям f' можно таким же способом найти производную

Слайд 4Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:
Возникают естественные

вопросы, откуда происходят эти формулы и как оценивать точность вычисления

производных по этим формулам?
Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу: Возникают естественные вопросы, откуда происходят эти формулы и как

Слайд 5Односторонняя разность
Производная функции определяется выражением:


заменяем приращение на конечную величину

(шаг дифференцирования):
x0
f(x0)
f(x0+Δx)
x0+Δx
Δx

Односторонняя разностьПроизводная функции определяется выражением: заменяем приращение на конечную величину  (шаг дифференцирования):x0f(x0)f(x0+Δx)x0+ΔxΔx

Слайд 6Односторонняя разность
Численное дифференцирование:

правосторонняя разность:



левосторонняя разность:
xi
f(xi)
f(xi+1)
xi-1

xi+1
f(xi-1)

Односторонняя разностьЧисленное дифференцирование:правосторонняя разность:левосторонняя разность:xif(xi)f(xi+1)xi-1       xi+1f(xi-1)

Слайд 7Двусторонняя разность
Более точное значение производной:


Двусторонняя разность:
xi
f(xi)
f(xi+1)
xi-1

xi+1
f(xi-1)

Двусторонняя разностьБолее точное значение производной:Двусторонняя разность:xif(xi)f(xi+1)xi-1       xi+1f(xi-1)

Слайд 8Формулы являются результатом дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и других. Сущность

которых состоит в том, что заданная функция f(x) представляется в

виде многочлена, который значительно проще дифференцировать, чем какие-либо другие функции, особенно трансцендентные или представляющие собой сложные выражения.
Формулы являются результатом дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и других. Сущность которых состоит в том, что заданная функция

Слайд 9Оценка погрешности и точности вычисления не менее серьезный и сложный

процесс, чем само приближенное вычисление. Так для оценки погрешности дифференцирования

могут быть применены следующие формулы:

где предполагается, что функция f(x) дифференцируемая
n + 1 раз, а точка
 


- некоторое промежуточное значение между x0 - точкой, в которой находится производная и точками (x0 - 2dx), (x0 - dx), (x0 + dx), (x0 + 2dx), ...
из заданного промежутка [a, b].

(2)

Оценка погрешности и точности вычисления не менее серьезный и сложный процесс, чем само приближенное вычисление.  Так

Слайд 10 На практике f (n+1)(c) оценивать непросто, поэтому при малых dx

приближенно полагают: и тогда получается следующая формула
(3)

На практике f (n+1)(c) оценивать

Слайд 11Мы будем пользоваться формулой (2), а впоследствии и формулой (3),

в зависимости от конкретной задачи и тех сложностей, которые могут

возникнуть при составлении программ. Используя эти формулы, составим функцию для вычисления первой производной. Точность вычисления eps задается пользователем, а первоначальная величина промежутка dx устанавливается 1, а затем, для уточнения вычисления - делится на 2.
Мы будем пользоваться формулой (2), а впоследствии и формулой (3), в зависимости от конкретной задачи и тех

Слайд 12Частное дифференцирование функции от многих переменных
Все аргументы функции становятся константами,

кроме аргумента по которому проводится дифференцирование

Требуемый порядок производной получается путем

последовательного вычисления производных, вплоть до требуемого порядка
Частное дифференцирование функции от многих переменныхВсе аргументы функции становятся константами, кроме аргумента по которому проводится дифференцированиеТребуемый порядок

Слайд 13Интерполяция полиномом
Заданная таблица сглаживается какой-либо функцией P(x), являющейся интерполяционным полиномом,

или полиномом, полученным с использованием МНК (метода наименьших квадратов) с

некоторой погрешностью Rn(x), в результате чего имеют место следующие равенства:
f(x) = P(x) + Rn(x), f(x*) = P(x*) + Rn(x*):
f′(x) = P′(x) + R′n(x), f′(x*) = P′(x*) + R′n(x*):
f′′(x) = P′′(x) + R′′n(x), f′′(x*) = P′′(x*) + R′′n(x*)
Интерполяция полиномом Заданная таблица сглаживается какой-либо функцией P(x), являющейся интерполяционным полиномом, или полиномом, полученным с использованием МНК

Слайд 14численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную (иногда говорят —

некорректную), чем интерполирование. Действительно, близость друг другу ординат двух кривых

y=f(x) и y=P(x) на отрезке [a,b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных f′(x) и P′(x)
численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную (иногда говорят — некорректную), чем интерполирование. Действительно, близость друг другу

Слайд 15Интерполяция конечными разностями
В этом случае (x*= xi , i =

0,…, n) используется аппарат разложения функций в ряд Тейлора, для

чего функция в точке x* должна иметь достаточное число производных. Предполагается, что заданная таблица является сеточной функцией для некоторой функции y(x) (т.е. yi =  y(xi )), имеющей в точке производные до четвертого порядка включительно.

(9.3)

Интерполяция конечными разностямиВ этом случае (x*= xi , i = 0,…, n) используется аппарат разложения функций в

Слайд 16Выразим yi’, разделив предварительно на h и оставляя слагаемые с

первой степенью шага h, получим

Выразим yi’, разделив предварительно на h и оставляя слагаемые с первой степенью шага h, получим

Слайд 17где — центральная разность первого

порядка

где      		— центральная разность первого порядка

Слайд 18Метод Рунге
С целью оценки погрешности продифференцируем численно методом p-го

порядка функцию f(xi) = yi , i = 0,…, n с шагом h. Затем продифференцируем численно функцию

тем же методом p-го порядка, с шагом kh (k=1/2; 1/4; 1/16; ...)
Метод Рунге С целью оценки погрешности продифференцируем численно методом p-го порядка функцию f(xi) = yi , i = 0,…, n с шагом h. Затем

Слайд 19Из этого выражения видно, что это уже метод порядка p+1,

т.е. на порядок точнее

Из этого выражения видно, что это уже метод порядка p+1, т.е. на порядок точнее

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика