Разделы презентаций


Действительные числа

Содержание

«Три девицы под окном Пряли поздно вечерком»….«…И очутятся

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Действительные числа
Алгебра и начала математического анализа 10 класс

Действительные числаАлгебра и начала математического анализа 10 класс

Слайд 2

«Три девицы под окном

Пряли поздно вечерком»….
«…И очутятся на бреге,
В чешуе, как жар горя,
Тридцать три богатыря,
Все красавцы удалые,
Великаны молодые…»
«Входят семь богатырей,
Семь румяных усачей…» « Гроб её к шести столбам
На цепях чугунных там
Осторожно привинтили,
И решёткой оградили…»

Кто автор этих строк?

«Три девицы под окном

Слайд 3Натуральные и целые числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных

чисел N или (Z+)

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–

…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)

Натуральные  и целые числа1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …

Слайд 4Делимость натуральных чисел
Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Для двух натуральных чисел a

и b если существует натуральное число q такое, что выполняется

равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b.

a – делимое
b – делитель
q – частное

a : b = q

Делимость натуральных чиселАвтор: Семёнова Елена ЮрьевнаДля двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q

Слайд 51о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то

a ⋮ b.
2о Если a ⋮ b и с ⋮

b, то (a + c) ⋮ b.

Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.

Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.

3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
то (48 + 52) не делится на 3.

Свойства делимости

1о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то a ⋮ b.2о Если a ⋮ b

Слайд 64о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮

b, то c ⋮ b.
5о Если a ⋮ b и

с ⋮ d, то ac ⋮ bd.

Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).

6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.

Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то
(48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.

Свойства делимости

4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b.5о Если a

Слайд 77о Если a ⋮ b и с  N, то

ac ⋮ b.
8о Если a ⋮ b и с ⋮

b, то для любых n, k  N
следует (an + ck) ⋮ b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.

9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.

Свойства делимости

Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

7о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ b.8о Если a ⋮ b

Слайд 8На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась

на 2.
Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.
Признаки делимости
Для

того, чтобы натуральное число делилось

На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).

Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.

На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Пример: 56730 ⋮ 10.

На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8

Слайд 9На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число,

образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮

4.

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.

На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.

На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами.Пример: 56736 ⋮ 4,

Слайд 10На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число,

образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮

125.

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.

На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.

На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами.Пример: 56375 ⋮ 125,

Слайд 11На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых

со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр,

взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11.

Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.

Признаки делимости

Для того чтобы натуральное число делилось

На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).

Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах,

Слайд 12Обозначения
n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n

– 1)n

Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

2! = 1 ∙ 2 = 2

1! = 1

0! = 1

Обозначения n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n –

Слайд 13Деление с остатком
a = bq + r
a – делимое
b –

делитель
Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b

и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая что выполняется равенство:

Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.

q – неполное частное
r – остаток

Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.

Деление с остаткомa = bq + ra – делимоеb – делительТеорема 4. Если натуральное число а больше

Слайд 14Простые числа
Если натуральное число имеет только два делителя –

само себя и 1, то его называют простым числом.
2, 3,

5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.

Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.

Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.

Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

Простые числа Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют

Слайд 15Cоставные числа
Если натуральное число имеет более двух делителей, то

его называют составным числом.
1 не является ни простым, ни составным

числом.

4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.

Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.

Cоставные числа Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом.1 не является ни

Слайд 161, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32,

48, 96
Делители числа 72:
Наибольший общий делитель (НОД)
1, 2, 3, 4,

6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Делители числа 96:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.

Найти НОД чисел: 72 и 96.

НОД (72; 96) = 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96Делители числа 72:Наибольший общий делитель (НОД)1,

Слайд 17Наибольший общий делитель (НОД)
Два натуральных числа a и b называют

взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных

от 1, т.е. НОД(a, b) = 1.

Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.

Наибольший общий делитель (НОД)Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет

Слайд 1818, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …
Кратные числа

12:
Наименьшее общее кратное (НОК)
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,

96, 108, …

Кратные числа 18:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.

Найти НОК чисел: 12 и 18.

НОК (12; 18) = 36

36, 72, 108, 144, …

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …Кратные числа 12:Наименьшее общее кратное (НОК)12, 24, 36, 48,

Слайд 19Разложение на простые множители
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5

∙ 7
2
2
3
3
3
5
7
3780
1890
945
315
105
35
7

1

2
2
2
2
3
3
7
7

7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1

7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72

НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252

НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840

Разложение на простые множители3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 722333573780	1890	 945 315	 105  35

Слайд 20Рациональные числа
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной

дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Рациональные числа –

это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.

Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);

6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

Рациональные числаЛюбое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической

Слайд 21Рациональные числа
Верно и обратное утверждение:
Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно

представить в виде обыкновенной дроби.

Рациональные числаВерно и обратное утверждение:Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Слайд 22Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

:
Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…


Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
100х = 123,232323…
х = 1,232323…
100х – х = 122,000000…
Т.е. 99х = 122, откуда х =

Пример (1 способ):


Рациональные числаЗаписать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…

Слайд 23Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

:
Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023

+ 0,000023 + …
Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23:
S1 = =
S = 1 + =

Пример (2 способ):

Рациональные числаЗаписать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 +

Слайд 24Иррациональные числа
Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова

ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число»,

«иррациональное число – неразумное число»).

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√11 ≈ 3,31662479035539…

Примеры:

Иррациональные числаТермины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число

Слайд 25Множества чисел

Множества чисел

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика