ЕГЭ

площадей, объёмов);
Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы

поверхностей и объемов тел
Отношение площадей подобных фигур
Отношение объемов подобных тел

квадратов катетов.

двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус

угла между ними.

Синус острого угла в прямоугольном
треугольнике — это отношение
противолежащего катета к гипотенузе:




Косинус острого угла в Тангенс острого угла в
прямоугольном треугольнике - в прямоугольном треугольнике -
отношение прилежащего катета отношение противолежащего
к гипотенузе: катета к прилежащему:


Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Прямоугольный параллелепипед 

Составные многогранники 
 Призма  
Пирамида  
  Тела вращения
Цилиндр  
Конус 
Сфера и шар 
Комбинации тел

поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.
Ответ: 2.
Решение.
S1=6a2,

S2=6(a+1)2
S2= S1+30
6(a+1)2 = 6a2 +30
6a2 +2а+6- 6a2 - 30 = 0
2а=24
а=2

Решение

Ответ: 32.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной
вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6.
Найдите объем параллелепипеда.

(все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного

на рисунке (все двугранные углы прямые).

расстояние между точками F и B1.
Ответ: 82.
Решение.
Расстояние между

точками
F и B1 найдем из  FBB1,
в котором известен катет
BB1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 41√3. По теореме Пифагора в  FBB1 :
FB1 2 = FВ2 + FB12
FB1 2 = (41√3)2 + 412 =
= 412(3 + 1) = 412 ∙ 22;
FB1 = 41 ∙ 2 = 82.

20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Рассмотрим 

СВЕ,
в котором известен катет
ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике
и равен 40.
cosСВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5
СВЕ = 60

а сторона основания равна 30√3. Найдите высоту пирамиды.

его рёбра увеличить в десять раз?
Ответ: 100.

которой равны 60 и высота равна 40. 

а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под

углом 60°. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 162.

30. Найдите объём пирамиды.
Ответ: 4500.
Решение.

плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите

объём отсечённой треугольной пирамиды.

Ответ: 30.

Решение.

(см. анимацию)
Ответ: 1500.
D
B
C
A
B1
C1
A1
D1

раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
Решение
Обозначим

площадь и высоту второй кружки за S2 и V2.
Тогда объем первой кружки

Ответ 1,125

образующей - 25. Найдите площадь осевого сечения
этого

конуса. 

Решение: Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник,
основание которого - диаметр D основания конуса, а высота h совпадает с высотой конуса.
По условию образующая конуса l = 25, радиус основания r = D / 2 = 14 / 2 = 7. Тогда: 

был найден: арбуз радиусом 3 дм приравнивали по стоимости к

трём арбузам радиусом 1 дм. Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

R=3 дм R=1 дм

>

в 9 раз

многогранников

цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара
Решение.



Площадь поверхности шара радиуса r равна 

,
то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра.
Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.

Радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2r равна

Ответ: 12.