Экспериментально-статистическое исследование связей

явлениями, параметрами и факторами.
Связи бывают функциональными и вероятностными (статистическими).

При функциональной связи каждому значению входной величины соответствует одно или нес-колько строго определенных значений выходной.

Статистические связи проявляются лишь при многократном испытании. При этом данному значению входной величины соответствует множество значений выходной.

отвечает на вопросы: влияет ли данная входная величина на выходную

Предположим, что в результате эксперимента, цель которого — изучить влияние фактора x на пара-метр y, получены данные в виде совокупностей значений х и y, объемом n каждая, причем каждому значению xі соответствует определенное значение yi

Каждую пару величин можно представить точкой на поле координат xОy.

Совокупность точек образует диаграмму рассеивания.

однако подобная оценка субъективна
Числовой характеристикой тесноты связи служит корреляция —

Оценка корреляции по опытным данным:

Размерность полученной величины равна произведению размерностей величин x и y, что затрудняет анализ тесноты связи.

оценкой степени связи между величинами и изменяется в диапазоне [–1;+1]
Рассмотрим

y отсутствует

вида
Следовательно, если по результатам опытов полу-чено kxy = ±1, можем утвер-ждать, что

Поскольку Sy = |b| Sx, имеем

Тогда

и

Следовательно

Если b > 0 — kxy = 1

Если b < 0 — kxy = –1

точек значительно больше, чем во II и IV.
Следовательно, в

0 < kxy < 1

–1 < kxy < 0

Оба эти случая свидетель-ствуют о наличии статистической связи между величинами x и y.

связь, но в некотором интервале значений этих величин их коэффициент

Таким образом, коэффициент корреляции дает оценку не только наличия связи между величинами, но и степени ее линейности

выходной и входными величинами по данным экспериментальных исследований
Зависимость между величинами

Табличный способ позволяет определить значение выходной величины для заданных значений входных, но не дает представления о характере зависимости.

Графический способ создает наглядность представления зависимости, позволяет визуально оценить ее характер.

значения максимума, минимума, точек перегиба и т.д.
Получение аналитической зависимости

Аналитические зависимости, полученные по данным эксперимента путем регрессионного анализа называются эмпирическими или аппроксимирующими.

Если теоретические формулы могут быть исполь-зованы при произвольных значениях аргументов, то эмпирические являются приближенными и могут применяться лишь в определенных условиях и в ограниченных пределах аргументов

являются случайными. Входные должны быть неслучай-ными и некоррелированными между собой
Задача

выбор вида уравнения регрессии

определение коэффициентов уравнения

проверка адекватности установленной зависимости данным эксперимента

графическую зависимость. Ее сравнивают с различными кривыми, уравнения которых извест-ны,

При выборе формулы нет необходимости ориентироваться на сложные зависимости.

Ценность формулы определяется не сложностью, а той погрешностью, которая допускается при ее применении.

1),
Линия 2 более точно аппроксимирует данные эксперимента, но ее

Поэтому предпочтение следует отдавать простым, в первую очередь линейным уравнениям, и только в случае явно нелинейной зависимости, выбирать другие: квадратичные, степенные и т.п

так и более сложная зависимость (линия 2).

1),
Линия 2 более точно аппроксимирует данные эксперимента, но ее

Поэтому предпочтение следует отдавать простым, в первую очередь линейным уравнениям, и только в случае явно нелинейной зависимости, выбирать другие: квадратичные, степенные и т.п

так и более сложная зависимость (линия 2).

от общей зависимости, то следует проверить вычисления для них, а

Если до обработки экспериментальных данных известна теория исследуемого процесса, в основу эмпирической зависимости желательно положить функциональную зависимость, определяемую этой теорией.

Например, известно, что теоретическая напорная характеристика турбомашины является прямой линией, а потери напора в турбомашине пропорциональны квадрату расхода.

Поэтому для описания экспериментальной напорной характеристики наиболее целесообразна ориентация на квадратичные зависимости

В общем виде задачу можно сформулировать следующим образом
Для поиска аппроксимационной

которая содержит m неизвестных параметров (коэффициентов, показателей степеней и др.):

b1, b2, …, bm

квадратов.
В настоящее время выполнение такой задачи не представляет трудности,

Метод заключается в поиске минимума функции

расхождения расчетных значений и опытных данных.
для некоторой совокупности экспериментальных

Наилучшим будет такое сочетание коэффициентов, при котором это расхождение будет минимальным.

Задача сводится к поиску минимума функции Ф и может быть решена методом математического анализа

Функция Ф в данном случае есть функция двух переменных

переменным будут равны нулю
Преобразовав выражения, получим систему двух линейных

Решив систему, найдем значения коэффициентов уравнения регрессии

достаточно просто преобразуемые к линейному виду
Распространенная в гидравлическом эксперименте

приводится к линейному виду подстановкой

z = x2

К ним относятся параболические и степенные зависимости

достаточно просто преобразуемые к линейному виду
Степенные зависимости вида
где

приводятся к полиномиальному виду путем логарифмирования

Обозначив b0 = Ln C, и прологарифмировав значения факторов и параметра, можем применить метод наименьших квадратов для поиска значений b0, b1, b2, …, bk.

себя этапы
1. Ищется остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности
где fад

Дисперсия адекватности будет тем меньше, чем лучше совпадают расчетные значения параметра с экспериментальными данными

опыты не проводятся, то в качестве средневзвешенной дисперсии принимается
где ΔYпред

воспроизводимости;
Если расчетное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то

nп u — количество параллельных опытов для u-го сочетания уровней факторов