Элементы дисперсионного анализа

от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и

оценка их влияния. Дисперсионный анализ находит применение в различных областях науки и техники.
Известно, что многие признаки и свойства живых организмов находятся под влиянием различных факторов: наследственности, условий среды, внутренних факторов организма, искусственного отбора. Степень и направленность воздействия различных факторов неодинаковы, поэтому важно определить долю влияния отдельных факторов на изменчивость признака. Для решения подобной задачи используют метод дисперсионного анализа, разработанный Р.Фишером.

изменчивости признака.
В зависимости от количества изучаемых факторов

различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. Рассмотрим подробнее метод однофакторного дисперсионного анализа.

, и наблюдения можно представить в виде
, где - номер наблюдения в выборке; - номер выборки; - групповые математические ожидания; - случайные ошибки с , о которых предполагается, что они независимы и одинаково расположены.

(называемые уровнями), и каждая группа объектов, чьи признаки мы измеряем,

подвергается воздействию определенного уровня этого фактора. Методы математической статистики, изучающие воздействие одного фактора на объекты и их признаки, называют в совокупности однофакторным анализом.

средних

Иными словами, проверяют гипотезу о том, что фактор вообще не влияет на наблюдения. В случае нормальных ошибок ее можно проверить, вычислив две разные оценки дисперсии.

эксперимента измерялась температура тела животных. Результаты измерений были занесены в

таблицу:

(3 различных

мощности облучения). На всех уровнях распределение случайной величины Х (температуры тела животного) предполагается нормальным, а дисперсии одинаковыми, хотя и неизвестными. В данном эксперименте число проведенных наблюдений при действии каждого из уровней фактора одинаково. Все значения величины Х, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне фактора Аj, составляют группу, и в последней строке таблицы представлены соответствующие выборочные групповые средние, вычисленные по формуле

номер столбца, - номер строки, в

которой расположено данное значение случайной величины. Общая средняя арифметическая всех наблюдений находится как

общей средней , которая характеризует рассеивание

«между группами» (т.е. рассеивание за счет исследуемого фактора):

средней , которая характеризует рассеивание «внутри групп»

(за счет случайных причин):

:



Можно доказать следующее равенство:

остаточной дисперсий:

различием в групповых средних и соотношением

между двумя видами дисперсий – факторной, которая характеризует влияние фактора А на величину Х, и остаточной, которая характеризует влияние случайных причин. Сравнивая факторную дисперсию с остаточной по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние фактора.
Для сравнения двух дисперсий используют показатель критерия Фишера

равенстве факторной и остаточной дисперсии (изучаемый фактор не вызывает изменчивости

признака) при конкурирующей гипотезе об их неравенстве (изучаемый фактор вызывает изменчивость признака).
По таблице критических значений распределения Фишера – Снедекора при уровне значимости , равном половине заданного уровня

находят критическое значение

.

Если , нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений. Если , то эту гипотезу отвергают в пользу конкурирующей.
Замечание. Если окажется, что , следует сделать вывод об отсутствии влияния фактора А на Х.
Если проверка покажет значимость различий между и ,следует сделать вывод о существенном влиянии фактора А на Х.

) на изменчивость признака. Однако

он не указывает на силу влияния этого фактора. В качестве показателя силы влияния фактора на изменчивость признака используют величину :


.