Элементы теории множеств

что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству

или нет

элементы – соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие

обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая прямая).
C – множество комплексных чисел. И верно следующее:
N⊂ Z⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Принадлежность элемента m множеству M обозначается так: m∈M

число элементов, называется конечным.
Если множество не содержит ни одного

элемента, то оно называется пустым и обозначается Ø.
Например:
множество студентов 1курса - конечное множество;
множество звезд во Вселенной - бесконечное множество;
множество студентов вашего курса, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

≤10} –множество значений у из отрезка [1;10]
X={xIx>2} – множество всех

чисел х, больших 2.
2) перечисление множества
Примеры:
А={а,б,в}- три начальные буквы русского алфавита
N={1,2,3…}-натуральные числа
3)графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна

и .Если элементов множеств немного, то они могут на

диаграмме указываться явно.

элемент множества А является элементом множества В:
При этом говорят,

что В содержит А, или В покрывает А

Невключение множества С в множество В, обозначается так:

когда , А⊆В и В⊆А , т. е. элементы множеств

А и В совпадают.

Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны. Множество С – это множество А, только в нем элемент 3 записан дважды.

Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ
Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами.
Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее из трех множеств.

Каждое непустое множество А≠ Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и Ø.

В⊄А. Обозначается так: А⊂В.
Например,
Принято считать, что пустое множество является

подмножеством любого множества.

Мощностью конечного множества М называется число его элементов. Обозначается |M|
Например, |B|=6. |A|=3.

называется множество С тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя

бы одному из множеств А или В. Возможны три случая:
1) А=В;
2) множества имеют общие элементы;
3) множества не имеют общих элементов.
Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А∪В= {1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А∪В={1,2,3,4,5,6}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А∪В={1,2,3,4,6,8}

состоит только из элементов одновременно принадлежащих, множествам А и В

Обозначение С=А ∩В
Возможны три случая:
1) А=В
2) множества имеют общие элементы
3) множества не имеют общих элементов.

B={4,6,8}, тогда А∩В=∅

элементов принадлежащих только множеству А и не принадлежащих В.

Обозначение: С=А\В

В=В ∩ А
3. Сочетательный закон A ∪(B ∪ C)=B ∪(A

∪ C)
4. То же и для пересечения.
5. Распределительный относительно пересечения
А ∩ (В ∪ C) = A ∩ В ∪ A ∩ С
6. Распределительный относительно объединения
А ∪(B ∩ С) = (А ∪ B) ∩ (A ∪ C)
7. Закон поглощения А ∪(A∩В)=А
8. Закон поглощения А ∩(А ∪ B)=A
9. А ∪ A=А
10. A ∩ А=A

С, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент пары

берется из множества А, а второй из В.
А={1,2,3}
В={4,5}
С=А×В = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)}
Мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств А и В:
|А × В|=|А |∙ | В |

случае равенство выполняется)
Дано:
Координатная числовая ось Х.х∈ (-∞,+ ∞). Координатная числовая

ось Y.у∈ (-∞,+ ∞).
D=Х × Y
Декартовое произведение двух осей - точка на плоскости.

Рассмотрим декартовое произведение, которое обладает свойством коммутативности. А={Иванов, Петров}
В={высокий, худой, сильный}
А × В= {Иванов высокий, Иванов худой, Иванов сильный, Петров высокий, Петров худой, Петров сильный}