Фигурные числа

работа
с учащимися 5 класса

некрасивой математики.
Г. Харди

теоретико – числовыми доказательствами фигурных чисел.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
- изучить историю происхождения фигурных чисел;
- рассмотреть виды фигурных чисел;
- рассмотреть плоские и пространственные фигурные числа.
Методы исследования:
- обработка и анализ научных источников;
- анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме.

счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно

выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что–нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».

впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а

вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень».

важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в

пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения

трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время

фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Определение и виды фигурных

чисел.

на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в

линию.

Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3).

Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2).

Треугольные числа (3, 6, 10).

пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три

этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000
и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят:
"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?

Кубические числа

они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде

- треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению

площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:
5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

«Возведение в квадрат или куб». Посмотрите:
1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32),

6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
Выделяются несколько

видов данных чисел;
Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов
Фигурные числа – это интересно!

и Греции.
Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.
Детская

энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005