Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Дистанционное
Содержание
- 1. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Дистанционное
- 2. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииШевелёвАлександр Юрьевичдоцент, кандидат физико-математических наук.
- 3. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииМатематика
- 4. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииТема №2.Системы линейных уравнений
- 5. Система уравнений является линейной, если все содержащиеся в системе неизвестные величины представлены только в первой степени.
- 6. Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет следующий вид:
- 7. Системы линейных уравнений Каждой системе линейных уравнений можно поставить в соответствие матрицу:элементами которой являются коэффициенты при неизвестных.
- 8. Системы линейных уравнений Матрица системы может содержать столбец
- 9. Расширенная матрица системы является в свою очередь матричной записью системы линейных уравнений.
- 10. Линейная зависимость или независимость системы линейных уравнений
- 11. Решением системы уравнений называется такое упорядоченное множество
- 12. Если система обладает решениями, то она называется
- 13. В нашем курсе мы рассматриваем только те
- 14. Системы линейных уравненийМетод Крамера. Он основывается на
- 15. Системы линейных уравненийМетод Гаусса. Суть метода состоит
- 16. Системы линейных уравненийМетод обратной матрицы. Выведем формулу
- 17. Системы линейных уравненийЗапишем уравнение в буквенной форме:Умножим
- 18. ЗадачаПример. Решить систему методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.
- 19. ЗадачаРешим пример методом Крамера. Найдём сначала определитель
- 20. ЗадачаВычислим остальные определители из формул Крамера.
- 21. ЗадачаВоспользуемся формулами Крамера, получаем:Ответ запишем в виде матрицы-столбца:
- 22. ЗадачаРешим пример методом Гаусса. Приведём расширенную матрицу
- 23. ЗадачаИз 2-й строки вычтем удвоенную первую, а из 3-й утроенную 1-ю.Складываем 3-ю и 2-ю строки:
- 24. ЗадачаТеперь запишем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице:Начнём решать систему с нижнего уравнения.
- 25. Задача
- 26. ЗадачаРешим пример методом обратной матрицы.Сначала следует найти
- 27. ЗадачаВычислим упомянутые алгебраические дополнения:
- 28. ЗадачаЗапишем присоединённую матрицу:
- 29. ЗадачаДля получения ответа воспользуемся формулой
- 30. ЗадачаПример. Решить матричное уравнение
- 31. Задача
- 32. Задача
- 33. Системы линейных уравнений Рассмотрим систему
- 34. Системы линейных уравнений Определитель матрицы
- 35. Задача Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений. Найти базисное решение системы.
- 36. Задача Решение. Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
- 37. Задача Для нахождения базисного решения приравниваем свободные переменные к нулю.
- 38. Задача При.
- 39. Системы линейных уравнений Рассмотрим
- 40. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииТема №3. Элементы матричного анализа
- 41. Определение. n -мерным вектором называется упорядоченная совокупность
- 42. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
- 43. Операции над векторамиСложение. В результате этого действия складываются соответствующие координаты этих векторов. Аналогично производится их вычитание.
- 44. Операции над векторами2. Произведение вектора на число.
- 45. Операции над векторами3. Скалярное произведение двух векторов.
- 46. Вычисление длины вектораДлина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора:
- 47. Формула скалярного произведенияСкалярное произведение двух векторов может
- 48. Параллельный перенос вектора в пространстве не изменяет самого вектора, т.к. сохраняет его длину и направление.
- 49. ЗадачаПример. Найти косинус угла между векторами с
- 50. Решение задачиРешение. Найдём скалярное произведение данных векторов по формуле
- 51. Решение задачиНайдём теперь длины обоих векторов по формуле
- 52. Решение задачиТеперь воспользуемся формулойОткуда
- 53. ЗадачаПример. Найти значение параметра с, при котором
- 54. Решение задачиРешение. Угол между взаимно перпендикулярными векторами
- 55. Определение. Вектор является
- 56. Если хотя бы один из векторов
- 57. Максимальное число линейно независимых векторов, содержащихся в некотором пространстве определяет размерность этого пространства.
- 58. Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется его базисом.
- 59. Теорема. Любой вектор линейного пространства может быть
- 60. ЗадачаПример. Могут ли векторыв совокупности являться базисом трёхмерного пространства?
- 61. ЗадачаРешение. Любые три линейно независимых вектора могут
- 62. ЗадачаВычислим определитель, строками которого являются координаты данных
- 63. Задача
- 64. ЗадачаРешение.Таким образом при всех ,
- 65. Линейные операторы Если задан закон (правило), по которому каждому в
- 66. Линейные операторы Рассмотрим
- 67. Задача При.
- 68. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииКонец лекции
- 69. Скачать презентанцию
Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииШевелёвАлександр Юрьевичдоцент, кандидат физико-математических наук.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Шевелёв
Александр Юрьевич
доцент, кандидат физико-
математических наук.
Слайд 4Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №2.
Системы линейных уравнений
Слайд 5 Система уравнений является линейной, если все содержащиеся в системе неизвестные
величины представлены только в первой степени.
Слайд 7Системы линейных уравнений
Каждой системе линейных уравнений можно поставить в соответствие
матрицу:
элементами которой являются коэффициенты при неизвестных.
Слайд 8Системы линейных уравнений
Матрица системы может содержать столбец свободных членов. В
этом случае она является расширенной матрицей системы:
у которой последний (правый)
столбец называется столбцом свободных членов.
Слайд 9 Расширенная матрица системы является в свою очередь матричной записью системы
линейных уравнений.
Слайд 10 Линейная зависимость или независимость системы линейных уравнений отождествляется с понятиями
линейной зависимости и независимости строк матрицы системы.
Слайд 11 Решением системы уравнений называется такое упорядоченное множество чисел, которое после
подстановки его в исходную систему делает все равенства системы тождественными.
Слайд 12 Если система обладает решениями, то она называется совместной, причём если
решение единственно, то система называется определённой, если решений бесконечное множество,
то система называется неопределённой. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.
Слайд 13 В нашем курсе мы рассматриваем только те системы, у которых
количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.
Далее рассмотрим три метода решений
определённых систем линейных уравнений.
Слайд 14Системы линейных уравнений
Метод Крамера. Он основывается на Теореме Крамера: Если
определитель системы линейных уравнений, у которой количество неизвестных совпадает с
количеством уравнений, отличен от нуля, то система является определённой, а её единственное решение вычисляется по формулам Крамера:, где - определитель матрицы
системы, а - определитель, полученный из заменой его i-го столбца на столбец свободных членов.
Слайд 15Системы линейных уравнений
Метод Гаусса. Суть метода состоит
в приведении расширенной
матрицы системы к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над
строками матрицы. (Такие элементарные преобразования не меняют решения системы).
Слайд 16Системы линейных уравнений
Метод обратной матрицы. Выведем формулу нахождения решения системы.
Сначала запишем систему линейных уравнений, у которой количество неизвестных совпадает
с количеством уравнений, в виде матричного уравнения.
Слайд 17Системы линейных уравнений
Запишем уравнение в буквенной форме:
Умножим обе части уравнения
слева на матрицу, обратную матрице , получим
Используя определение обратной матрицы,
имеем: или
На практике удобнее пользоваться видоизменённой формулой:
Слайд 19Задача
Решим пример методом Крамера. Найдём сначала определитель матрицы системы (убедимся
в том, что исходная система является определённой).
Слайд 22Задача
Решим пример методом Гаусса. Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований.
Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки:
Слайд 23Задача
Из 2-й строки вычтем удвоенную первую, а из 3-й утроенную
1-ю.
Складываем 3-ю и 2-ю строки:
Слайд 24Задача
Теперь запишем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице:
Начнём решать систему
с нижнего уравнения.
Слайд 26Задача
Решим пример методом обратной матрицы.
Сначала следует найти определитель матрицы системы
(найден
нами ранее в методе Крамера). Теперь транспонируем матрицу системы:Далее найдём присоединённую матрицу, состоящую из алгебраических дополнений
к транспонированной матрице:
Слайд 33Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему уравнений, в которой
количество уравнений меньше, чем количество неизвестных.
Теорема Кронекера –
Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.Если система содержащая n переменных имеет ранг, равный r, то она имеет r базисных (основных) переменных; остальные n-r переменных являются свободными (неосновными)
Слайд 34Системы линейных уравнений
Определитель матрицы из коэффициентов при
базисных переменных отличен от нуля и называется базисным минором.
Решение системы, в котором все свободные переменные равны нулю называется базисным решением. 
Слайд 40Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №3.
Элементы матричного анализа
Слайд 41 Определение. n -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел,
записываемых
в виде = (х1,
х2, ..., хn), где хi – i-я координатата вектора . 
Слайд 43Операции над векторами
Сложение. В результате этого действия складываются соответствующие координаты
этих векторов. Аналогично производится их вычитание.
Слайд 44Операции над векторами
2. Произведение вектора на число. При этом действии
все координаты исходного вектора умножаются на данное число.
Слайд 45Операции над векторами
3. Скалярное произведение двух векторов. В результате этого
действия суммируются произведения соответствующих координат этих двух векторов.
( , ) = х1 y1 + х2 y2 +…+ хn yn , где y1, ..., yn координаты вектора . 
Слайд 46Вычисление длины вектора
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов
координат этого вектора:
Слайд 47Формула скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов может быть вычислено по
формуле:
Где - угол между векторами.
Слайд 48 Параллельный перенос вектора в пространстве не изменяет самого вектора, т.к.
сохраняет его длину и направление.
Слайд 53Задача
Пример. Найти значение параметра с,
при котором векторы
= (2; 3; 0); =(с; -4;
5)Взаимно перпендикулярны.
Слайд 54Решение задачи
Решение. Угол между взаимно перпендикулярными векторами составляет
90 градусов.
Косинус угла в 90 градусов равен нулю. Скалярное произведение таких
векторов равно нулю. Пользуясь формулойполучаем:
Откуда с = 6.
Слайд 55Определение. Вектор является линейной комбинацией векторов
, если существует равенство
где постоянные числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля.
Слайд 56Если хотя бы один из векторов
является
линейной комбинацией других,то в этом случае векторы являются линейно зависимыми.
Если ни один из этих векторов не является линейной комбинацией других, то векторы являются линейно независимыми.
Слайд 57 Максимальное число линейно независимых векторов, содержащихся
в некотором пространстве определяет
размерность этого пространства.
Слайд 58 Определение. Совокупность
n линейно независимых векторов
n-мерного пространства называется его
базисом.
Слайд 59 Теорема. Любой вектор линейного пространства может быть представлен
в виде
линейной комбинации векторов базиса этого пространства, причём единственным образом.
Слайд 61Задача
Решение. Любые три линейно независимых вектора могут быть базисом некоторого
трёхмерного пространства. Но, если они линейно зависимы, то хотя бы
один из этих векторов является линейной комбинацией двух других. Согласно одному из свойств определителей, определитель, у которого строки являются координатами этих векторов должен равняться нулю. В случае линейной независимости векторов такой определитель будет отличен от нуля.
Слайд 62Задача
Вычислим определитель, строками которого являются координаты данных в условии векторов:
Таким
образом получили то, что исходные векторы линейно зависимы и, следовательно,
не могут быть базисом трёхмерного пространства.
Слайд 64Задача
Решение.
Таким образом при всех , отличных от девяти,
данные в условии векторы могут являться базисными векторами.
