Функциональные ряды

переменой x некоторое значение x0,x1 и т.д., мы будем получать

те или иные числовые ряды.
В зависимости от значения принимающего переменной x, численный ряд может оказаться сходящимся или расходящимся.
Опр-е: Совокупность всех значений переменной x, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Опр-е: Функциональный ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2), где а0, а1, а2… не зависят от переменой x, называется степенным относительно переменных x рядом.
Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых

. Наоборот, если ряд (2) расходится при x=x0, он расходится при всех значениях x, для которых
Для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число R, что при |x|R расходится. R-радиус сходимости.
Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих соотношению –R< x 1) Степенные ряды вида (2), которые сходятся лишь в точке х=0 относятся к рядам первого класса.
# 1+x+1!x2+…+n!xn+…
2) Степенные ряды вида (2), которые сходятся на всем R относятся к рядам II-го класса.
#

классам относятся к рядам III классам.
Теорема: Пусть для ряда (2)

существует и отличен от нуля предел:


Тогда R=



#
Составим предел отношения
Интервал сходимости: -3Ряды по степеням разности х-а

центром в точке x=a.

Разложение функций в степенные ряды
Ряд Тэйлора
Если функция

F(x) является суммой ряда (3), то в этом случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням (x-a)
Мы имеем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда (т.е. многочленов).
Если функция F(x) на интервале (х0-R; х0+R) разлагается в степенной ряд
F(х)= (4)
то это разложение единственно.

(5)

Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд Тейлора – разложение функции F(х) по степеням разности (х-а).


Пример: Найти коэффициент а4 в разложении функции F(x)=x3-1 по степеням разности (x-1).


F’(x)=3x2
F’’(x)=6x
F’’’(x)=6
FIV(x)=0 a4=0

коэффициент при (x-1)2.
Порядок 5, значит слагаемых будет 6.


F’(x)=20х4-30х2
F’’(x)=80х3-60х
F’’(1)=80-30=20
Ряды Фурье
Опр-е: Тригонометрический

ряд вида:
(8)

где а0,аn,bn (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда, называется рядом Фурье ф-ции f(x).

формулам:






Достаточные условия представимости функции ряда Фурье.
Пусть функция f(x) на отрезке

[- ; ] удовлетворяет условиям Дирехле
1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или кусочко – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек, разрыва первого рода) и
2. Монотонно или кусочно-монотонно.

[- ; ], то ряд Фурье этой функции

сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, и
(f(x0-0)+f(x0+0))/2. В точке x0 – разрыва ф-ции,

помощью имеющегося разложения в ряд Фурье можно вычислять значения сумм

числовых рядов, соответствующих данному ряду.

Пример: Дана функция

Вычислив коэффициент ряда Фурье, имеем:



Найти сумму числового ряда:

множителем cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1

(2k-1)x=0
x=0 в этой тоже функция f(x) определена и значит по теореме Дирихха сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x/0=-0=0<
Рассчитаем третье слагаемое:


Подставим все найденные значения в разложение:

найти сумму числового ряда



Разложение функции в неполный ряд Фурье.
Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является: а) четной –разложение по cos:


б) нечетная – разложение по sin:

или
В этом случае функция продолжается на другой полуинтервал

и просчитываются соответствующие коэффициенты (ak или bk).
Пример: f(x)=x на
Зададим продолжение функции на интервал нечетную функцию.

на

Упр: та же функция, продолжение - четное.