Разделы презентаций


Глава 6. Функции нескольких переменных

Содержание

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Глава 6. Функции нескольких переменных
§1. Основные понятия

Глава 6. Функции нескольких переменных§1. Основные понятия

Слайд 2Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре

чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено

в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции.
Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных

Слайд 3 Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат

точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом

аргументами функции будут координаты x, y точки M.
Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости,

Слайд 4График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)D.

График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой
поверхности приводится на

рисунке 1.
График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой

Слайд 5Аналогичным образом можно дать определение функции 3-х и более переменных.

Аналогичным образом можно дать определение функции 3-х и более переменных.

Слайд 6Очевидно, что -окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса 

с выколотым центром.

Очевидно, что -окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса  с выколотым центром.

Слайд 7Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое

положительное число  , что из условия M(x,y)  V (x0,y0) следует

f(x,y) > f(x0,y0).
Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия M(x,y)  V (x0,y0) следует: f(x,y) < f(x0,y0).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума.
Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия

Слайд 8§2. Частные производные

§2. Частные производные

Слайд 11В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси

OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P

пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 2. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.
Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке

Слайд 13Приведем примеры вычисления частных производных.

Приведем примеры вычисления частных производных.

Слайд 19Пример.

Пример.

Слайд 20Дифференцирование неявной функции

Дифференцирование неявной функции

Слайд 23§3. Градиент

§3. Градиент

Слайд 25§4. Касательная плоскость и нормаль

§4. Касательная плоскость и нормаль

Слайд 26Определение . Касательной плоскостью к поверхности  в данной точке
P(x0, y0,

z0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в

себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.
Определение . Касательной плоскостью к поверхности  в данной точке P(x0, y0, z0) называется плоскость, проходящая через точку Р

Слайд 27Определение. Нормалью к поверхности  в точке Р называется прямая, проходящая

через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в

этой точке.
Определение. Нормалью к поверхности  в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной

Слайд 28






- уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности .

- уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности .

Слайд 29§5. Экстремум функции двух переменных

§5. Экстремум функции двух переменных

Слайд 31Ранее уже были даны следующие определения:
Точка M0(x0,y0) является точкой

максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0,

что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x0,y0)
( f(x,y)> f(x0,y0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума
Ранее уже были даны следующие определения: Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая

Слайд 32Сформулируем необходимое условие экстремума.
Если в точке экстремума существует первая

частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.
Там, где

выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она

Слайд 33Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции

точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его

формулировка.

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.

Слайд 34

Тогда, если D  0,

то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0,

то минимум, а если A < 0, то максимум.
Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Тогда, если D  0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если

Слайд 35Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему:
1)

сначала выписываются необходимые условия экстремума:
zx(x,y) = 0; zy(x,y) = 0,
которые рассматриваются как система

уравнений. Ее решением является некоторое множество точек из области определения функции.
2) В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: 1) сначала выписываются необходимые условия экстремума:zx(x,y) = 0;  zy(x,y) = 0,которые

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика