Слайд 1ГЛАВА IV. Функции нескольких переменных
§1. Определение функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность ФНП
1. Определение функции нескольких переменных
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть X = {(x, y) | x,y ℝ } ,
U ℝ .
Функция f : X U называется функцией n переменных .
Записывают: z = f(x, y) ,
где f – закон, задающий соответствие между x, y и z .
Слайд 2Называют:
X – область определения функции (Обозначают: D(u) ),
x, y
– аргументы (независимые переменные),
U – область значений (Обозначают: E(u) ),
z
(z U) – зависимая переменная (функция).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП
1) словесный;
2) табличный;
3) аналитический;
4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y)D(z).
График функции z = f(x,y) будем также называть «поверх-
ностью z = f(x,y) ».
Слайд 3Частные производные
Для наглядности, здесь и далее все определения и
утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На
случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом.
Пусть z = f(x,y) , D(z) = D xOy , D – открытая область.
Пусть M0(x0,y0)D .
Придадим x0 приращение x, оставляя значение y0 неиз-
мененным (так, чтобы точка M(x0 + x,y0)D).
При этом z = f(x,y) получит приращение
xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + x,y0) – f(x0,y0).
xz(M0) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).
Слайд 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x 0 отношения
(если он существует и конечен)
называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке
M0(x0,y0).
Обозначают:
или
Слайд 5Замечание.
Обозначения
и
надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения z(x0,y0) и x смысла не имеют.
Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M0(x0,y0):
Обозначают:
(и )
является функцией, определенной на D1(D2) D(f).
Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают
Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных
называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.
– это обыкновенная про-
изводная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной.
Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой.
ПРИМЕР. Найти частные производные по x и по y функции
f(x,y) = x2 + xy2 + y3
