ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть)

к ГИА 2014

геометрические задачи
на доказательство
( 2 часть)

(Ю.А. Шиханович)

6 задач

+ ‹4=180º
т.к. ‹1=‹2, а ‹3=‹4, то
2(‹2)+2(‹4)=180º

2(‹2+‹4)=180º
‹2+‹4 = 90º
Значит биссектрисы перпендикулярны.

1

2

3

4

:2

на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ =

CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

то BЕ = KD, CF = AM.
В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK.
Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма данный четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство :
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM,

угла, противолежащего основанию.
Доказательство:
∆АВК=∆СВК
по двум сторонам и углу между

ними.
Значит ‹3=‹4, т.к. лежат в равных треугольниках против равных сторон
т.е. ВК является биссектрисой.

А

В

С

К

1

2

3

4

CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На

эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Доказательство :
1) ∆ АОВ = ∆ СОD
по двум сторонам и углу между ними
2) AO = BO = CO = DO
как радиусы окружности,
3) ‹AOB = ‹COD - по условию.
Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

АВЕ = ∆ СВК
по двум сторонам и углу между ними.
Значит

АЕ = СК как стороны лежащие в равных треугольниках против равных углов

А

В

С

К

Е

отрезками через одну, то получится квадрат.
Таким образом, угол 8-миугольника равен

135º
Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны: (180º-135º) :2 = 22,5º.
Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен: 135º-22,5º·2=135º-45º= 90º.
Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Решение:
Вычислим угол восьмиугольника по формуле:

половине длины третьей стороны.






Доказательство.
MN – средняя линия (по условию задачи)
2)

∆ ВМN ~ ∆ ВАС, по
второму признаку подобия,
т.е. ‹В – общий и ВМ:ВА=
= ВN:ВС=1:2
Значит к = ½(коэффициент подобия)
3) Из подобия треугольников следует,
что ‹1=‹2 и МN:АС=1/2.
Значит МN=1/2 АС

А

В

С

M

N

2

1

т.Е, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению отрезков

другой хорды: АЕ·ЕВ = СЕ·ЕD

Доказательство.
В треугольниках АDЕ и СВЕ:
а) ‹1 = ‹2 (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВD)
б) ‹3=‹4 (как вертикальные)
Т.е. ∆АDЕ~∆СВЕ(по двум углам)
Значит: АЕ:СЕ=DЕ:ВЕ, или

АЕ·ЕВ = СЕ·ЕD

О

D

В

А

С

Е

1

2

3

4

сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK

— равносторонний.

Доказательство:
т.к. точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно, то:
MN- средняя линия и равна ½ АС
МК - средняя линия и равна ½ ВС
NK- средняя линия и равна ½ АВ,
но т.к. ∆АВС – равносторонний,
то и ∆MNK — равносторонний.

Доказательство.
по чертежу видно, что ∆АВС и

∆АВК – прямоугольные, т.к. ‹АСВ и ‹АКВ – вписанные и опираются на половину окружности и значит равны 90º.
‹1=‹2 как вписанные и опирающиеся на равные дуги.
Тогда ∆АВС = ∆АВК (по гипотенузе и острому углу) и значит АС=АК .
Тогда ∆АСК – равнобедренный и АВ его медиана, а значит и высота, т.е.
АВ перпендикулярен СК

О

А

В

С

К

1

2

равны.
Доказательство:
Т.к. АС и СВ касательные,
то ОА┴АС и ОВ┴ВС.
Тогда ∆ОАС=∆ОВС

по гипотенузе ОС(общая) и
катету (ОА=ОВ как радиусы
одной окружности)
Значит АС=ВС, т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны

О

А

В

С

меры дуги, на которую он опирается
Доказательство:
Проведём диаметр ВК.
Тогда ‹1

будет внешним углом ∆АОВ
и ‹1= ‹2+‹3, но ‹2= ‹3 как углы при
основании равнобедренного ∆АОВ
Т.е. ‹1=2·‹3 => ‹3=½·‹1, но т.к. ‹1-
центральный, то ‹1=ںАК; ‹3=½·ںАК
Аналогично: ‹6=½·ںСК
Значит ‹3+‹6 =½·ںАК+½·ںСК= ½·(ںАК+ںСК)=
= ½·ں АС, т.е вписанный угол АВС= ½·ں АС

О

А

В

С

К

1

2

3

4

5

6

равнобедренная
Доказательство:
Т.к. дана трапеция, то ‹1+‹2=180º
(односторонние углы)
Т.к. около трапеции можно описать
окружность,

то ‹1+‹3 =‹2+‹4 =180º,т.е.
‹1= 180º- ‹3. Подставим это в
первое выражение ‹1+‹2=180º и
получим: (180º-‹3) +‹2=180º =>
‹2-‹3 =180º- 180º=0, т.е. ‹2=‹3. Тогда и
‹1=‹4, т.е. трапеция равнобедренная

О

1

2

3

4

проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.
Доказательство:
∆О1АО2=∆О1ВО2 по трем

сторонам (О1О2 – общая; О1А=О1В как радиусы одной окружности О1; О2А=О2В как радиусы окружностьО2). Значит
‹1=‹2. Тогда биссектриса О1К в равнобедренном треугольнике О1АВ является и высотой, т.е.
О1О2 ┴АВ

О1

О2

А

В

К

1

2

отсекается равнобедренный треугольник
Доказательство:
Если АК-биссектриса, то
‹1=‹2,
но т.к. АВСD-трапеция, то

‹1=‹3 как внутренние накрест лежащие.
Значит ‹2=‹3 и тогда
∆АВК-равнобедренный

А

В

С

D

К

1

2

3

четырехугольник является прямоугольником.
Доказательство:
Т.к. АК- биссектриса, то она
отсекает от параллелограмма равнобедренный

треугольник АВК, т.е. АВ=ВК.
Т.к. ВО – биссектриса, то ВР биссектриса в равнобедренном ∆КАВ, опущенная на основание, значит является и высотой, т.е.
‹1- прямой => и ‹2- прямой.
Аналогично (док-те сами) можно доказать, что ‹3 = 90º => ‹4=90º
Значит в четырёхугольнике: ‹2+‹4=180º и два оставшихся равных угла тоже остаётся 180º т.е все углы - прямые
Тогда четырёхугольник – прямоугольник.

А

В

С

D

М

К

О

Н

Р

R

1

2

3

4

ромб – квадрат.
Доказательство:

самостоятельно в парах
1
2
3
4

самостоятельно

или стр.210 в учебнике по геометрии 7-9

А.С. Атанасяна

высота равна средней линии.
Доказательство:


самостоятельно

площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата.
Доказательство:

К
К
А
В
С
D
самостоятельно

треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны
Доказательство:

самостоятельно


S
S1
S2
S4
S3

9 классов в новой форме. Математика 2014., М., Интелект-Центр, 2014