ИЗБРАННЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

и их графики

показательные функции y = ах, где а – любое положительное число, отличное

от единицы: а > 0, a  1;
3) логарифмические функции у = logax, где а – любое положительное число, отличное от единицы: а > 0, a  1;
4) тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;
5) обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Основными элементарными функциями считаются следующие:

арифметических операций и операции образования сложной функции (т.е. операции композиции),

называются элементарными функциями.
Так, например, элементарными являются функции:

(1)
При b = 0 она принимает вид
у = ах. (2)

В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х (с коэф-фициентом пропорциональности а); равенство (2) задает прямую пропорциональную зависимость между x и у.

Отметим простейшие свойства функции y = ax. 
1. Функция определена при всех значениях х.
2. График функции проходит через начало координат (при х = 0 имеем y = 0.
3. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как a · (– x) = – (ax).

утлом  (где tg  = а) к оси Ох.

В связи с этим коэффициент а прямой пропорциональности называют угловым коэффициентом прямой, служащей графиком нашей функции.

линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и

наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

этой функции.

1. Функция определена при всех значениях х; значения

функции неотрицательны: она равна нулю при х = 0 и положительна при любых других значениях x. Следовательно, график функции проходит через начало координат и располагается выше оси Ох (имея с ней общую точку О(0, 0)).

2. Функция четная: (–х)2 = х2; график функции симметричен относительно оси Оу. Поэтому достаточно построить его для х  0 и затем зеркально отразить относительно Оу.

при 0  х1 

, т.е. у1 < у2. Для отрицательных х, т. е. в интервале (– , 0], функция убывает.

Всего имеем два интервала монотонности:
— интервал убывания (– , 0],
— интервал возрастания [0, + ).

Точка О(0, 0) — точка мини-мума функции. В ней функция принимает свое наименьшее значение, равное нулю. Ее называют вершиной параболы.

же характер; при а > 0 ординаты графика функции у

= ах2 отличаются множителем а от ординат графика функции у = х2. При а < 0 получается график, симметрично расположенный с графиком у = а х2 относительно оси Ох.

График функции вида у = ах2 называется параболой; ось симметрии графика называется осью параболы (здесь она совпадает с осью Оу), точка пересечения параболы со своей осью — вершиной параболы (здесь вершина совпадает с началом координат).

На рисунке показаны графики функций
у = ах2 при а = 1, ½, 2, – 1, – ½, – 2.

п.
Некоторые общие свойства рассматриваемых функций.
1. Все они принимают нулевое

значение при х = 0 (их графики проходят через начало координат).
2. При четном п = 2k функция у = хn = х2k четная, так как (–x)2k = х2k.
3. График симметричен относительно оси Оу.
4. Если п – нечетное, п = 2k + 1, то и функция нечетная, так как (– x)2k+1 = – х2k+1. В этом случае график симметричен относительно начала координат.

функции являются возрастающими. При этом, чем больше показатель п, тем

больше значения хп для х > 1; напротив, при 0 < х < 1 функции с бóльшим показателем степени п принимают меньшие значения. Для х = 1 все функции у = хn принимают значения, равные 1.

На рисунке показаны графики функций у = хn для п = 1, 2, 3, 4.

у находятся в обратной пропорциональной зависимости, а число т называют

коэффициентом обратной пропорциональности. Обратную пропорциональную зависимость записывают также в симметричной относительно х и у форме:
ху = т.

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.

1. Функция определена для всех действительных чисел, кроме

х = 0: эта область определения функции является объединением двух бесконечных открытых интервалов (– , 0) и (0, + ).
2. Функция не обращается в нуль. Если х > 0, то (поскольку т > 0) и у > 0, для отрицательных х функция также принимает отрицательные значения. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.
3. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его часть, которая соответствует интервалу (0, + ).
4. При х > 0 функция убывающая; действительно, из 0 < х1 < х2 следует т/х1 > m/x2, т. е. у1 > у2. Функция является убывающей и в интервале (– , 0) Имеется два интервала ее монотонности: (– , 0) и (0, + ), в каждом из которых она убывает.

ось Оу (последнее ясно также из наличия асимптоты Ох и

симметрии относительно прямой у = х).
Кривая, служащая графиком обратной пропорциональной зависимости, называется равнобочной гиперболой. В обоих случаях т > 0 и т < 0 гипербола состоит из двух отдельных частей называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси симметрии (здесь они совпадают с биссектрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями), центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).

На рисунке показаны графики функций у = 1/хn при п = 2, п = 3

а > 0, а  1 называется показательной функцией.

Исследуем эту функцию.
1. Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.
2. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция у = ах положительна при всех значениях аргумента, поэтому ее график весь располагается выше оси абсцисс.
4. Если а > 1, то функция у = ах возрастающая; если а < 1, то она убывающая.

у = ах возрастает. Можно показать, что при этом ее значения по

мере возрастания х становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки х по оси абсцисс вправо. В случае когда а < 1 функция у = ах убывает, по мере возрастания х ее значения быстро приближаются к нулю. Отрицательным значениям х теперь соответствуют значения функции, больше единицы.

6. Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика показательной функции. Это также показано на рисунке.

= 2, 3, ½, 1/3.

где а > 0 и a  1, называется логарифмической функцией.

Чтобы построить график логарифмической функции, проще всего заметить, что она является обратной функцией для показательной функции. Действительно, если y = logax, то х = ау, и обратно. Функции y = logax и у = ах — взаимно обратные функции, их графики расположены зеркально-симметрично относительно биссектрисы I – III координатных углов.

случаях расположены правее оси ординат Оу, поскольку логарифмическая функция определена

лишь для положительных значений независимой переменной х. При всяком основании а (а > 1 или 0 < а < 1) графики проходят через точку (1, 0). Число х = 1 служит нулем логарифмической функции y = logax при любом а.

cos x.
. ОДЗ — множество R всех действительных чисел.
. Множество

значений — отрезок [-1;1].
. Функция y = cos x периодическая с периодом 2.
. Функция y = cos x чётная.

равное 0, при

nZ;
– наибольшее значение, равное 1, при x=2n, nZ;
– наименьшее значение, равное -1, при x=+2n, nZ;
– положительные значения на интервале и на интервалах,
получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n=1, 2, …;
– отрицательные значения на интервале и на интервалах,
получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n=1, 2, ….
6. Функция y = cos x
– возрастает на отрезке [;2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n=1, 2, …;
– убывает на отрезке [0;] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n=1, 2, ….

= sin x.

1. ОДЗ — множество R всех действительных чисел.

2.

Множество значений — отрезок [–1;1].

3. Функция y = sin x периодическая с периодом 2.

4. Функция y = sin x нечётная.

nZ.
2. Множество значений — множество R всех действительных чисел.
3. Функция y = tg x периодическая с периодом .
4. Функция y = tg x нечётная.
5. Функция y = tg x принимает:
— значение, равное 0, при x = n, nZ;
— положительные значения на интервалах nZ;
— отрицательные значения на интервалах nZ.
6. Функция y = tg x возрастает на интервалах nZ.

Cвойства функции y = tg x.