Кинематика точки (практика)

занятий
и самостоятельной работы по теоретической механике
Владивосток
2011
Составил В. Г.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского

ответах
1.1. Основные понятия и определения

3. Координатный способ задания движения точки

4. Решение задач

4.2. Криволинейное движение точки

4.3. Решение задач

5.1. Решение задач

5. Естественный способ задания движения точки

4.1. Прямолинейное равнопеременное движение точки

В теоретической механике кинематикой называется раздел механики, в котором изучается

Как называется раздел кинематики, в котором изучается движение точки?

Раздел кинематики, в котором рассматривается движение одной точки, называется кинематикой точки.

1. Теоретический материал в вопросах и ответах

Что в называется телом отсчёта?

Тело, относительно которого рассматривается движение точки или тела, называется телом отсчета.

1.1. Основные понятия и определения

точки или тела с телом отсчета связывают систему координат и

Что называется траекторией точки?

Траекторией точки называется линия, представляющая собой геометрическое место последовательных положений движу-щейся точки в рассматриваемой системе отсчета.
По виду траектория точки может быть прямолинейной и криволинейной, рис. 1.

Чтобы изучить движение точки, необходимо задать её движение, а затем

Что значит задать движение точки?

Задать движение точки относительно какой-либо системы отсчета – это задать способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени относительно выбранной системы отсчёта.

В каких единицах измеряются в кинематике расстояние и время?

В кинематике основной единицей измерения времени является секунда (с), а расстояния – метр (м).

Преимущественно в кинематике точки используют три способа задания движения точки:

2. Векторный способ задания движения точки

В чём заключается векторный способ задания движения точки?

Положение точки в пространстве определяется радиус-вектором, проведенным из некоторого неподвижного центра О в данную точку М, рис. 2, который должен быть известен как функция времени:

Линия, которую описывает конец радиус-вектора точки назы-вается годографом радиус-вектора.

это векторная величина характеризующая, быстроту и направление движения точки в

Чему равна скорость точки при векторном способе задания её движения?

При векторном способе задания движения скорость точки равна первой производной от радиуса-вектора точки по времени:

Как направлен вектор скорости точки?

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис. 3).

называется вектор, характеризующий быстроту изменения величины и направления вектора скорости

её движения ?
Ускорение точки равно первой производной по

Как направлен вектор ускорения точки?

Вектор ускорения точки направлен по касательной к годографу вектора скорости, рис. 4.

При координатном способе задания движения положение точки определяется путём

3. Координатный способ задания движения точки

называются кинематическими уравнениями движения точки в координатной форме и одновременно

Как получить уравнение траектории в явном виде?

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, необхо-димо исключить из уравнений (4) время t. Для этого выражают t из любого уравнения (4) и подставляют его в остальные уравнения. Например, найдём t из первого уравнения:

уравнений (5) определяет в пространстве переменных xyz траекторию точки, как

Как определяется скорость точки при координатном способе задания движения точки?

1. Определяют проекции скорости точки на координатные оси как первые производные от соответствующих координат:

величины направляющих косинусов:
4. Находят величины углов α, β,

движения точки?
1. Определяют проекции ускорения точки на

1) модуль ускорения точки:

2. Находят следующие величины:

вектор скорости соответственно с осями x, y, z:
2)

Как определяется кинематические характеристики точки при движения точки в плоскости xОy?

При движении точки в плоскости x0y нахождение её кинема-тические характеристики имеют вид:

− направляющие косинусы вектора ускорения

координатной оси x с траекторией (прямой линией), получим:


Как

Какой вид имеет уравнение прямолинейного равноперемен-ного движения если ось совмещена с траекторией?

Уравнение прямолинейного равнопеременного движения точки (а – const) имеет вид:

где v0 – начальная скорость, x0 – начальная координата.

координат. При vx > 0 точка движется по направлению оси

Какой вид имеют кинематические характеристики прямоли-нейного равнопеременного движения точки, если ось совмеще-на с траекторией?

точка движется с ускорением. В противном случае точка движется с

Ускорение точки:

Какой вид имеет уравнение прямолинейного равномерного движения точки, если ось совмещена с траекторией?

Уравнение движения точки:

если ось совмещена с траек-торией точки?

прямые и обратные. Прямые задачи связаны с определением кинема-тических характеристик

Прямые и обратные задачи можно решать различными способами: векторным, координатным и естественным. Некоторые задачи решаются путём комбинации нескольких способов задания движения точки (комбинированные задачи)

На практике приходится решать преимущественно прямые задачи кинематики точки. Рассмотрим примеры решения таких задач.

4. Решение задач

Пример 1. Считая посадочную скорость самолёта равной v = 400

Решение

Рассматриваем самолёт как точку, совершающую прямоли-нейное замедленное движение.

Совместим координатную ось с траекторией точки. Начало оси поместим в начальную точку торможения, рис. 7.

формулу скорости:
Запишем начальные и граничные условия, соответственно,

в формулу скорости:
Получили систему двух уравнений с

Решаем эту систему уравнений способом подстановки.

Из второго уравнения найдём время торможения:

системы:
Отсюда найдём:
Подставим ускорение в

Подставим численные значения в аналитические выражения неизвестных величин:

2. Даны уравнения движения точки:
Определить траекторию точки, скорость

Решение

Из первого уравнения найдём:

Подставим время во второе уравнение:

Найдём проекции скорости точки на координатные оси.
Найдём численные

Определим величину скорости точки в момент времени
t = 1с:

точки найти уравнение её траектории, в координатной форме и указать

Ответ:

Ответ:

Решить самостоятельно

Определить уравнение траектории точки, её скорость и ускорение в момент

Решение

Определить скорость и ускорение точки в момент, когда она

Ответ:

Решить самостоятельно

Определить скорость, ускорение, нормальное ускорение, касательное ускорение и радиус

Решение

Определим скорость точки.

нормальное ускорение точки.

согласно уравнениям
Определить радиус кривизны ρ траектории.

Если известна траектория движения точки, то применяют естественный

Для этого на траектории выбирают начальную точку и задают положительное и отрицательное направления отсчёта дуговой координаты s, которая и определяет положение движущейся точки, рис. 6.

5. Естественный способ задания движения точки

координаты s = f(t) является уравнением движения точки при естественном

Как определяется путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени при естественном способе задания движения точки?

Если начало движения точки совпадает с началом отсчёта, то пройденный точкой путь за промежуток времени от t0 до t1 равен:

в положитель-ном направлении отсчёта или только в отрицательном, то пройденный

Какие оси применяют при естественном способе задания движения точки?

При естественном способе задания движения точки применяют естественные оси координат: касательную τ (направлена по касательной к траектории), нормаль n (направлена перпендикулярно касательной; проходит через центр кривизны траектории) и бинормаль b (перпендикулярная касательной и нормали), рис. 6.

Эта плоскость называется соприкасающейся ( плоскость 1).

Эта плоскость называется спрямляющей (плоскость 2).

Эта плоскость называется нормальной (плоскость 3).

Естественные оси являются подвижными и перемещаются в пространстве вместе с

Чему равна скорость точки при естественном способе задания движения точки?

Скорость точки при естественном способе задания движения точки равна:

скорости точки направлен по касательной к траектории (совпадает с осью

её движения?
При естественном способе задания движения

Чему равно касательное ускорение точки?

Касательное ускорение точки равно:

где aτ – проекция ускорения точки на ось τ; равна производной:

Касательное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине.

Нормальное ускорение точки равно:

где an – проекция ускорения точки на ось n; определяется по формуле:

Здесь ρ – радиус кривизны траектории точки.

всегда положительное. При прямолинейном движении точки или в местах перегиба

Чему равен модуль ускорения точки?

Модуль ускорения точки равен:

Как определяется направление ускорения точки в соприка-сающейся плоскости?

Направление ускорения точки в соприкасающейся плоскости определяется углом a между этим вектором и нормалью:

задания движения точки?
При координатном способе задания движения

где знак плюс, полученный после вычисления дроби, соответ-ствует ускоренному движению точки, а знак минус – замедлен-ному.

Какой вид имеет уравнение равномерного движения точки при естественном способе задания её движения?

скорость точки при естественном способе задания её движения?

Решение задач
Указать ближайший после начала движения момент

Ответ: 0,167

Решение

Подставим t1 и s1 в уравнение движения точки.

является время t1.
Решаем это уравнение.

Определить, в какой момент времени скорость точки достигнет 10 м/с.
Решение

Скорость точки равна:

Отсюда найдём:

заданной траектории со скоростью
v = 5 м/с. Определить криволинейную

Ответ: 116

Движение точки задано естественным способом. Движение равномерное. Поэтому:

Подставим в уравнение движения заданные величины:

= 0,5t м/с. Определить её координату в момент времени t

Ответ: 25

Решение

Движение точки задано естественным способом. Движение равнопеременное.

Представим скорость в виде дифференциального уравнения и найдём уравнение движения точки.

Разделим переменные.

условию s0 = 0, поэтому
Подставим в уравнение движения

координат:
Определить момент времени, когда криволинейная координата точки s

Ответ: 2,33

Решение

Дуговая координата точки равна:

Найдём дифференциалы координат:

уравнение движения точки естественной форме:
Из уравнения движения точки

Подставим заданную величину дуговой координаты

Определить криволинейную координату точки в момент времени, когда её касательное

Ответ: 22

КОНЕЦ