Колебания и волны

колебаний.
Пружинный, физический и математический маятники.
Энергия гармонического осциллятора.
Сложение колебаний.
5а.

колебательным
Колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону (sin, cos)

гармонических колебаний:

колебаться в поле силы тяжести относительно оси, не проходящей через

– плечо силы тяжести;
l – длина физического маятника
(расстояние от точки подвеса до центра масс)

– плечо силы тяжести;
l – длина физического маятника
Момент

Для малых углов
в проекциях на ось вращения:

размерами которого можно пренебречь),
подвешенная на нерастяжимой невесомой нити
Математический

который имеет тот же период колебаний:
По теореме Штейнера:

кинетической в потенциальную и обратно

векторных диаграмм)
Точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты:
Результирующее

Задача – определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания

эллипса:

замкнутости фигуры:
Метод фигур Лиссажу применяется
для точного определения частоты

уравнение
затухающих колебаний, где
приняты обозначения:


- сопротивления среды
Здесь β – коэффициент затухания;

имеет колебательного характера и будет апериодическим
Решение этого дифференциального
уравнения

дифф.ур-е
– решение дифф. уравнения
T

друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты

амплитуда уменьшается в

Число колебаний
за время релаксации:

3) Добротность:

одному периоду:
При условии малости затухания

3) Добротность:

Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации:

не затухали, колебательную систему нужно подпитывать энергией, - например, с

Это - дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний, где
приняты обозначения:

приближении частоты вынуждающей
силы к частоте собственных колебаний
системы (резонансной частоте)
называется

колебания, резонанс

http://www.youtube.com/watch?v=BAyt7KVtG58 – вынужденные колебания, резонанс

http://youtu.be/rdWWvjH8cPM - фигуры Лиссажу

во времени и пространстве
Продольные волны
Поперечная волна

данный момент времени (сферический, плоский)
направление распространения волны.
В изотропной среде

Волновой фронт –

Луч –

любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн
(объясняет процесс распространения волн)

Принцип Гюйгенса:

процессом, отстают по фазе от колебаний предыдущей частицы
Скорость перемещения

даёт уравнение колебаний в

В произвольной точке x колебания запаздывают по фазе

Уравнение колебаний источника в точке x=0:

– время запаздывания (за это время волна дойдёт до точки x)

переменных: x и t

равное периоду:

Длина волны – минимальное расстояние между точками, которые

Фаза:

в пространстве
Круговая частота характеризует быстроту изменения фазы с течением

Скорость перемещения фиксированной фазы (фазовая скорость):

OX
– дифференциальное уравнение волны для более общего случая;

здесь

отрицательном направлении оси OX
Плоская волна бежит в положительном направлении оси

от закреплённого конца стержня:


Узлы
Пучности

продольных волн
скорость распространения упругих поперечных волн
скорость звука в газе
ρ –

ρ – плотность, E – модуль Юнга, G – модуль сдвига

R –универсальная газовая постоянная,
T – температура,
μ – молярная масса,
γ – показатель Пуассона (показатель адиабаты, константа для данного газа, например, для воздуха γ=1.4)

Определяется скоростью
колеблющихся частиц:

Для объёмной плотности энергии :

Определяется модулем Юнга и
относительной деформацией:

Без доказательства

перемещаются в пространстве со скоростью

Групповая скорость – скорость переноса энергии

Групповая скорость – скорость перемещения точки а с максимальной
плотностью энергии (максимальной амплитудой)

для монохроматической волны

Без доказательства:

Возможны оба случая

Для электромагнитных волн возможно - скорости света в вакууме, поскольку фазовая скорость не связана с переносом энергии (или информации). Всегда - нельзя передавать энергию или информацию быстрее скорости света в вакууме.

энергии численно равен энергии, перенесённой волной за единицу времени через

– интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии)

групповая скорость

Инфразвук

(Бел)
уровень интенсивности
(объективная характеристика)
(дБ, децибел)
Здесь – порог слышимости
на частоте 1000 Гц

Громкость – субъективная характеристика, учитывающая среднюю чувствительность человеческого уха к звукам разной частоты, выраженный в фонах (фон), на частоте 1000 Гц совпадает с уровнем интенсивности, выраженным в децибелах

уровень громкости (громкость)

Шкалы громкости и уровня интенсивности совпадают только при ν=1000 Гц.
Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости:

ν=1000 Гц.
Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости:

звукового давления

r
и коэффициент проникновения β
на границе раздела
Из

волны
при относительном движении источника и/или наблюдателя.
(Рассматривается случай, когда

А) Пусть наблюдатель движется к источнику:

Период колебаний, который
воспринимает наблюдатель, – это время
между прохождением мимо наблюдателя
двух последовательных гребней волны:

волны
при относительном движении источника и/или наблюдателя.
Наблюдатель движется от

А) Наблюдатель движется к источнику:

период на расстояние

Б) Источник движется к наблюдателю :
Источник движется от

к случаю сближения источника
и наблюдателя; нижние – удаления
Движется источник
Движется