Критерии подобия. π-теорема и ее следствия. Определение критериев подобия с

использованием теории размерностей.
Занятие 2

которые составлены из физических величин, описывающих процессы в исследуемых объектах
Критерии

Обозначаются критерии буквой π

В соответствии с теорией подобия при эксперимен-тах необходимо измерять все величины, входящие в состав критериев

Обрабатывать результаты следует в виде зависимо-стей между критериями подобия. Полученные таким образом зависимости будут справедливы не только для данного эксперимента, но и для всех подобных объектов

работающих в установившихся режимах, являются безразмерный напор π1 и безразмерная

Зависимость безразмерного напора от безразмерной подачи представляет собой безразмерную (типовую) напорную характеристику лопастной машины

Она не связана с размерами, частотой вращения ротора и плотностью жидкости, а характеризует только особенности гидродинамической схемы и является одинаковой для всего семейства лопастных машин

H — напор насоса

Q — подача насоса

n — частота вращения ротора

D2 — диаметр рабочего колеса

моделей различных гидродинамических схем и проводят их испытания
Пропорциональность сходственных параметров,

Определяя критерии π1 и π2 для различных режимов, строят график зависимости π1 от π2 — безразмерную характеристику, а затем по законам подобия опре-деляют размеры, частоту вращения и строят зависи-мость напора от подачи для натурной машины

Геометрическое подобие является обязательным условием практического подобия большинства объектов

отвода. Два рабочих колеса, например, радиальной машины, будут геометрически подобными,

где D1н, D2н, B2н и D1м, D2м, B2м — диаметр входа, диаметр и ширина колеса соответственно натурной и модельной машин

Для геометрического подобия лопастных машин, кроме рабочих колес, должно быть соблюдено подобие их подводов и отводов

если процесс в объекте характеризуется m фундаментальными физическими величинами, для

процессы, могут быть выражены уравнениями связи между безразмерными комбинациями —

2. Число независимых критериев равно m – k, т.е. меньше числа размерных физических переменных на число основных единиц. Уменьшение числа переменных, которыми описывают процесс, ведет к уменьшению объема экспериментальных исследований и делает результаты более наглядными

физическими величи-нами. Одна из них выходная — параметр и четыре

Решено экспериментальным путем установить связь между выходной и входными величинами, не прибегая к безразмерным комбинациям

Пусть при постановке опытов каждый фактор будет фиксироваться на пяти уровнях. В этих условиях для перебора всех возможных сочетаний необходи-мое число опытов, равное сложности объекта, составит C = 54 = 625. Выполнить такое количество опытов весьма затруднительно

зависимость в виде функции четырех переменных. Подобрать такую зависимость весьма

Перейдем к безразмерным комбинациям. Предположим, что число основных единиц k = 3 — это очень часто встречающийся случай при иссле-довании механических и гидравлических систем

В условиях рассматриваемого примера в соответ-ствии с π-теоремой после перехода к критериям подобия число безразмерных переменных составит m – k = 5 – 3 = 2. Одна из них — безразмерный параметр, вторая — обобщенный безразмерный фактор

без использования критериев подобия, в последнем случае достаточно будет поставить

При переходе к безразмерным комбинациям упрощается анализ и графическое представление информации. Зависимость безразмерного параметра от обобщенного безразмерного фактора описыва-ется функцией одной переменной и будет представ-лена на графике одной линией

Известны два способа определения критериев подобия: с помощью анализа размерностей и по уравнениям процесса

этой задачи состоит из трех этапов:
На первом этапе выбираются фундаментальные

Для правильного выбора факторов (входных переменных) необходимо глубокое проникновение в суть исследуемого объекта. Часто это требует не только изучения априорной информации, но и постановки предварительных экспериментов. Если после выбора фундаментальных переменных система безразмерных комбинаций не получается, то необходимо возвратиться к анализу объекта исследования.

выражения размерностей фундамен-тальных переменных
В качестве основных рекомендуется принимать основные единицы

длины

l

L

метр

массы

m

M

килограмм

времени

t

T

секунда

силы тока

I

I

ампер

температуры

θ

K

кельвин

количества
вещества

n

N

моль

силы света

J

J

кандела

всех фундаментальных переменных.
Например, известно, что сила определяется зависимостью
F = ma
Формула размерности силы

Записав формулы размерностей всех фундаменталь-ных переменных, описывающих процессы в объекте, устанавливают, какие размерности основных единиц в них входят. Эти единицы и будут составлять систему основных единиц в условиях конкретной задачи

теории размерностей.
Для размерной функциональ-ной зависимости
размерности левой и правой частей

или

с обтекающим потоком жидкости.
Схема стенда для определения силы воздействия потока

v, ρ, μ

F

что стеснением им потока можно пренебречь. Гибкой нитью шар связан

Усилие F зависит от свойств шара и потока.

Если шероховатостью шара можно пренебречь, его свойства определяются одной переменной — диаметром d.

Свойства потока оцениваются средней скоростью v, плотностью ρ и вязкостью μ жидкости. Таким образом, в рассматриваемое случае фундаментальных переменных пять: параметр F и факторы d, v, ρ и μ.

жидкости
Скорость жидкости
Плотность жидкости
Динамическая вязкость жидкости
Диаметр шара
F
M L T-2
v
L T-1
ρ
M L-3
μ
M L-1 T-1
d
L

представлен произведением фундаментальных переменных в определенных степенях.
где x, y,

В рассматриваемом случае

Показатели могут быть целыми, дробными, положи-тельными и отрицательными числами. Они могут принимать и нулевое значение. В последнем случае критерий не будет зависеть от соответствующей фундаментальной переменной

Представим искомую зависимость в виде

где a, b, c, e, f — неизвестные показатели степеней

справедлива и относительно размерностей. Подставим в уравнение вместо пере-менных их

Чтобы последнее выражение было справедливым, должны выполняться условия равенства показате-лей степени для каждой из трех основных единиц

для M

для L

для T

и f и подставим в искомую зависимость
Объединим члены, имеющие одинаковые

e = – a – f ;

c = –2a – f ;

b = –2a – f 

В качестве критериев подобия
могут быть приняты комплексы:

— безразмерное усилие

Усилие, действующее со стороны потока на шар, делится на произведение площади квадрата, сторона которого равна диаметру шара (d 2) и удвоенного скоростного давления ρv2

а v d / γ = Re — число Рейнольдса, то
π2 = Re-1
По теории подобия

π2 = Re.

График зависимости безразмерного усилия взаимодействия шара
с потоком жидкости
от числа Рейнольдса