КУРС ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ГЕОЛОГИИ Курамшин Ринат

кафедры,
Генеральный директор ООО «Технопром»
ЛЕКЦИЯ №5(А+Б)

распределения. Кривая распределения выражает графически (полигон, гистограмма) закономерность распределения единиц

от того, какая ветвь кривой вытянута – правая или левая,

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения.
Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.
Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.
Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра, равны между собой.
Рассчитанные для таких рядов распределений характеристики равны:

наличии асимметрии распределения.

вычисляется относительный показатель асимметрии (As):
или
Его величина может быть положительной и

Асимметричные ряды распределения

правосторонняя асимметрия

левосторонняя асимметрия

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

0, то асимметрия левосторонняя.
Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

асимметрии которая зависит от числа наблюдений (n)

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично.
В противном случае асимметрия несущественная и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

результатам исследования керна
ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИМЕР:

следующее:
определим центральный момент второго и третьего порядков:
Полученный результат свидетельствует о

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

определяется по формуле с использованием центрального момента 4-го порядка
На рис.

Островершинное
распределение

Плосковершинное
распределение

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

наблюдений
Для определения асимметрии и эксцесса можно пользоваться упрощенными формулами, предложенными

где Р - удельный вес (%) количества тех вариант, которые превосходят среднюю
арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда;
50 - удельный вес (%) вариант, превосходящих среднюю арифметическую
ряда нормального распределения.

где Р - доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине
среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от
величины средней в общем количестве вариант данного ряда);
38,29 - доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине
среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от
величины средней), в общем количестве вариант ряда нормального
распределения.

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

пределу, который характеризует вероятность появления случайной величины, а гистограмма частостей

в виде интеграла вероятности:
где F(х) – вероятность p того,

нуля до единицы (рис).
Интеграл вероятности можно рассматривать как площадь,

а)

б)

График интервала вероятности (а) и плотности вероятности (б)

ПОНЯТИЕ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

законов график плотности вероятности имеет ступенчатый вид, как у гистограммы,

ПОНЯТИЕ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

потому что он носит предельный характер и при определенных условиях

плотность вероятности имеет следующий вид:

(рис).
Площадь между кривой и осью абсцисс равна единице.
Ветви

График плотности вероятности нормального закона распределения

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

статистическими характеристиками: средним значением и дисперсией 2.
Среднее значение определяет

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

состоит в решении задач двух типов:
определение вероятности появления случайной

Вероятность p того, что значение случайной величины не превысит заданное значение а (заштрихованная площадь на рис) определяется интегралом, т.е. p = F(а).
Наоборот, вероятность  того, что значение случайной величины больше заданного значения а (незаштрихованная площадь на рис), равна 1 – p.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

интервал от а до b, ее находят как интеграл,





которому

Наконец, иногда используется вероятность  того, что случайная величина находится за пределами интервала от а до b, тогда  = 1 – q.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Заштрихованная площадь
соответствует вероятности q
попадания в интервал от a до b

График плотности вероятности

отклонению .
В этом случае практически вся площадь под кривой

График плотности вероятности

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

вероятности принято пользоваться специальными таблицами.
Поскольку среднее значение и среднеквадратичное

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

имеют вид:
Таблицы значений F(t) и f(t) приведены во всех справочниках

Большое значение имеет функция Ф(t), выражаемая интегралом:

Она характеризует вероятность q попадания случайной величины в симметричный интервал от –t до +t (рис)
и связана с интегралом вероятности соотношением Ф(t) = 2F(t) – 1.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

их значения при отрицательном значении t находят из табл. без учета

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

b=2,96

Определить: вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Решение:

Из таблица находим: F(t1)=0,9032; F(t2)=0,9713
Т.о. вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна: q=F(t2)-F(t1) =0,0681

САМОСТОЯТЕЛЬНО: привести пример нахождений вероятности попадания случайной величины в симметричный интервал.

случайной величины t при заданных вероятностях p, , q или

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

называются коэффициентами вероятности и служат критериями принятия разнообразных решений.
Для

Коэффициенты вероятности t при заданной вероятности q=Ф(t)

Также таблицу коэффициентов вероятности t можно использовать для нахождения квартилей.
По заданной вероятности p вычисляется вероятность q=2p-1 и по таблице определяется квантиль.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

p=0,9
Вычисляем: q=2*0,9-1=0,8
Находим соответствующий ей квантиль t=1,282
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

логарифмически-нормальный (сокращенно логнормальный) закон распределения, широко применяемый в геологии.
Логнормальный

нормального, имеет область существования от нуля до +.
Если присутствуют

Плотность вероятности исходных значений х выражается формулой логнормального закона

ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

с его помощью проверяют гипотезы о равенстве средних значений случайных

Плотность вероятности имеет вид

где k – число степеней свободы, Г – гамма-функция, выражаемая интегралом:

Число степеней свободы зависит от числа измерений n случайной величины и от существа поставленной задачи.
Если проверяется гипотеза о равенстве вычисленного среднего значения какому-то заранее заданному числу, то k = n – 1.
Если сравниваются два средних значения из двух совокупностей с числом измерений n1 и n2, то k = n1 + n2 – 2.

зависят от числа степеней свободы, а они, в свою очередь,

Функция распределения Стьюдента и плотность вероятности обычно приводятся в таблицах в справочниках.

соответствии наблюдаемых частот теоретическим законам распределения.
Плотность вероятности распределения описывается

где k – число степеней свободы, зависящее от числа классов гистограммы nk (обычно k = nk – 3)

нормальному с математическим ожиданием k и дисперсией 2k.
Практически при

Случайная величина 2 имеет область существования от нуля до +. График плотности вероятности асимметричен, модальное значение 2mod = k – 2.

роль критериев.
В зависимости от вероятности  при заданной степени

ПРИМЕР ТАБЛИЦЫ

Коэффициенты вероятности распределения 2 при заданных вероятности  и числе степеней свободы k

о равенстве дисперсий случайных величин.
В качестве критерия служит отношение

где k1 и k2 – количество степеней свободы, зависящее от числа измерений случайных величин n1 и n2, т.е. k1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1.

значение имеет зависимость коэффициента t (критерия) от вероятности  (ей

k1 и k2, что трудно отобразить в одной таблице, поэтому

ПРИМЕР ТАБЛИЦЫ

Коэффициенты вероятности F-распределения при  = 0,05 = 5 %

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА

многих случаях желательно построить график кривой плотности вероятности того или

теоретические частоты определяются по формуле:
ПРИМЕР: Рассмотрим данные распределения исследований коэффициента

через Рх.
Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ, ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Первый множитель такой функции - величина постоянная для данного распределения. В нашем случае:

таблицы для любых значений f(t).
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ, ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ

ГРАФИКА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ, ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

основано на нормальном законе распределения, играющем универсальную роль.
При определенных

распределенную случайную величину х в случайную величину z, распределение которой

от a до b, то преобразование
Если значения случайной величины

меняет пределы ее существования от – до +, что во многих случаях эффективно.
Частным случаем является ситуация, когда а = 0, b = 1 = 100 % (например, содержание химических элементов не может быть меньше нуля и больше 100 %), и формула преобразования имеет вид

–1 до +1 (например, коэффициент корреляции или многие тригонометрические функции),

или преобразование, предложенное Фишером

Для преобразования могут быть использованы также степенные функции вида z = xa или z = x–a, где а может принимать значения от 1/2 до 3.

графика пробит-функции.
По оси абсцисс откладывают значения случайной величины x

Графики пробит-функции для исходных (а) и преобразованных (б) данных

если точки на графике расположены вдоль прямой линии.
В других

на среднее значение то получим относительную погрешность.
Относительная погрешность может быть

где V – коэффициент вариации.

они показывают, что погрешность среднего значения прямо пропорциональна изменчивости случайной

Это позволяет решать две задачи:
оценивать абсолютную  или относительную  погрешность среднего значения при известном числе наблюдений n;
находить необходимое число измерений n для достижения заданной погрешности среднего значения.

величины составляет приближенно ±3 (ширина кривой нормального распределения на рисунке).

и заключено математическое ожидание М(х). Наиболее вероятно, что оно совпадает

Интервал возможных значений математического ожидания зависит от вероятности q = Ф(t) и выражается через коэффициент вероятности t соотношением

Данный интервал называется доверительным интервалом или интервальной оценкой математического ожидания.

размер доверительного интервала:
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Нельзя

выводы имеют смысл лишь для однородных совокупностей.
Искажение статистических характеристик

«трех сигм».
Способ основан на том, что случайная величина при

Испытуемое (аномальное) значение не должно участвовать в расчете среднего значения и среднеквадратичного отклонения.
Для удобства расчетов можно нормировать случайную величину по формуле:

Тогда правило «трех сигм» преобразуется: если нормированное значение |t| > 3, то оно является аномальным.

«трех сигм» применяется к логарифмам значений, что используется при геохимическом

и дисперсия , тогда их связь

где у – нормированное смещение среднего; n – число исключенных значений; N – общее число значений случайной величины; f(t) – функция плотности вероятности; t – квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности p = 1 – n/N, т.е. t = F–1(1 – n/N).

Поскольку статистические характеристики изменяются, происходит и смещение критерия t:

Из приведенных формул следует, что величины t, f(t), y, tсмещ зависят только от отношения n/N.

отношения n/N, на основе формул

могут быть составлены таблицы tсмещ

График пробит-функции с аномальными значениями

Аномальные значения можно выявить и на графике пробит-функции.
Большинство точек укладывается в одну линию, но две точки заметно отклоняются от нее, что свидетельствует об аномальности соответствующих им значений.

на применении критерия Титьена – Мура.
Если из нормально распределенной

Вначале вычисляется величина

где – дисперсия исходной совокупности;
– дисперсия после исключения n предполагаемых аномальных значений.

Исключенные значения являются аномальными, если значение L окажется меньше критерия Lдоп при заданной вероятности .

пробит-функции можно выявить и другие особенности поведения случайной величины.
На

Стрелками выделены две точки – нижняя и верхняя.
В верхней точке проходит граница аномальных проб (более 16 %), в нижней точке – естественная природная граница кондиционных руд (около 0,5 %). Средняя часть графика близка к прямой линии, что соответствует нормальному закону распределения.

Пробит-график содержаний
меди в руде

данных – это разделение неоднородной совокупности на однородные.
Заключение о

Гистограмма содержаний железа в рудах Качарского месторождения

смешанных совокупностей при условии нормального их распределения, является раздвиг распределений:

который по смыслу близок к критерию t.
Чем больше раздвиг, тем легче разделить неоднородную совокупность на однородные и определить их характеристики.
Можно выделить несколько вариантов разделения.

на две самостоятельные гистограммы, не перекрывающие друг друга.
2. Раздвиг большой (d = 24),

5, 6, 7.
Привести пример нахождений вероятности попадания случайной величины в

асимметрии (Аs).
Определить нормированный моменты четвертого порядка.
Определить коэффициент эксцесса
ЗАДАНИЕ 5
ИСХОДНЫЕ

ОПРЕДЕЛИТЬ и СДЕЛАТЬ ВЫВОД ПО ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ

Распределение месторождений по объему извлекаемых запасов
в N регионе

нефти по скважинам на предприятии

Рассчитать среднюю арифметическую.
Рассчитать дисперсию.
Рассчитать среднее

представлены в таблице
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
ОПРЕДЕЛИТЬ и СДЕЛАТЬ ВЫВОД ПО ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ
Количество