Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные

Уравнения Бернулли

называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и

ее производной y .
 В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y  + p(x)  y = f(x) , (8)
где p(x) ,  f(x) – заданные непрерывные функции.
Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным.
В противном случае уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y  + p(x)  y = 0
является уравнением с разделяющимися переменными.
Его общее решение:
(9)

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
1) Интегрируем однородное уравнение y  + p(x)  y = 0, соот- ветствующее

данному неоднородному уравнению.
Его общее решение имеет вид (9):
2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения.
 Оно имеет вид
Функцию C(x) найдем, подставив y и y  в исходное неод- нородное уравнение (8).

вид:
(10)
Замечания.
1) Раскроем скобки в (10):
(11)
Заметим, что первое слагаемое в

(11) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).

в виде
Это является основанием метода вариации постоянной.
II) Метод Бернулли.

Будем искать решение (8) в следующем виде:
y = u(x)  v(x) .
Тогда y  = u   v + u  v  .
Подставим y и y  в уравнение (8) и получим:
u   v + u  v  + puv = f(x)
или u   v + u  [ v  + pv ] = f(x) .
Полагаем, что функция v(x) такова, что
[ v  + pv ] = 0 .
Тогда u   v = f(x) .

Замечание. Линейное неоднордное уравнение вида
y  + p(x)  y = b
проще интегрировать как уравнение с разделяющимися

переменными

– заданные непрерывные функции,
n  0 , n  1

(иначе это будет линейное уравнение).
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.
Для этого надо
1) обе части уравнения (13) разделить на y n ,
2) сделать замену z = y 1 – n .

Замечания.
1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при C = ) и особым при 0 < n < 1 .

решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух

функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.