Лектор Янущик О.В. 20 1 3 г. Математический анализ Раздел: Определенный

интеграл



Тема: Определенный интеграл и его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница

и его свойства
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Пусть

f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область (σ)  xOy , ограниченная отрезком [a;b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и кривой y = f(x), называется криволинейной трапецией с основанием [a;b] .

Замечание. Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки

S криволинейной трапеции (σ) .
Если Δxi = xi – xi–1 – длина отрезка [xi–1 ; xi] ,

то
Пусть  = max | [xi–1 ; xi] | . Тогда

и ее скорость изменяется по закону v = f(t).
Найти путь S,

пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] .
РЕШЕНИЕ.
1) Разобьем [T1 ; T2] на n частей точками
t0 = T1 ,  t1 ,  t2 ,  … ,  tn = T2   (где t0 < t1 < t2 < … < tn )
2) Выберем на [ti–1 ; ti]  (i = 1,2,…n) произвольную точку i .
Если [ti–1; ti] мал, то можно считать, что точка двигалась в те- чение этого времени равномерно со скоростью f(i) .
 пройденное расстояние: f(i)  Δti , где Δti = ti – ti–1 .
3) Пусть  = max | [ti–1; ti] | . Тогда

задана на отрезке [a;b] .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
1) Разобьем [a;b]  на n частей точками
x0 = a ,  x1 ,  x2 ,  … ,  xn = b ,   
где  x0 

каждом отрезке [xi–1 ; xi] (i = 1,2,…n) выберем про- извольную точку i и найдем произведение
f(i)  Δxi ,
где Δxi = xi – xi–1 – длина отрезка [xi–1 ; xi].
Сумма
называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] .

  0 , если для любого  >0 существует  >0

такое, что для любого разбиения отрезка [a;b]  у которого  <  , при любом выборе точек i выполняется неравенство
| In(xi,i) – I | <  .
Если существует предел интегральных сумм In(xi,i) при   0, то его называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]  (или в пределах от a до b).
ОБОЗНАЧАЮТ:
Называют: [a;b]  – промежуток интегрирования,
a и b – нижний и верхний предел интегрирования,
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение,
x – переменная интегрирования.

на этом отрезке.
ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие интегрируемости функции на

[a;b]).
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] , то она на этом отрезке ограничена.
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости функции на [a;b]).
Для интегрируемости функции f(x) на [a;b] , достаточно выполнения одного из условий:
1) f(x) непрерывна на [a;b];
2) f(x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва;
3) f(x) монотонна и ограничена на [a;b].

то
2) если a = b , то
Такое расширение определения согласуется с определением

определенного интеграла и его геометрическим (физическим) смыслом.

– непрерывна на [a;b] и f(x)  0 , x[a;b] , то
где S

– площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b] и ограниченной сверху кривой y = f(x).
2) Физический смысл определенного интеграла
Если функция v = f(t) задает скорость движущейся точки в момент времени t , то
определяет путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] .

интеграла, т.е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа)

функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

[a;c] и [c;b], то
(1)
Замечание. Формула (1) будет иметь место и

в том случае, когда точка c лежит не внутри отрезка [a;b], а вне его.
7) Если f(x) > 0 (f(x)  0)  x[a;b] , то
8) Если f(x)  (x) x[a;b] , то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке

[a;b], то
10) Если f(x) – нечетная функция, то
Если f(x) – четная функция, то

интервале (a;b) найдется такая точка c, что справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Ньютона-Лейбница
Пусть f(t) непрерывна на [a;b].
Тогда f(t) непрерывна на

[a;x], где a  x  b .
 f(t) интегрируема на [a;x], где a  x  b .
Рассмотрим интеграл
Имеем: , D(Φ(x)) = [a;b] .

Функция Φ(x) дифференцируема на [a;b], причем
Φ (x) = f(x) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СЛЕДСТВИЕ 2. Любая непрерывная на

[a;b] функция имеет на [a;b] первообразную.

– еще одна первообразная для f(x) на [a;b] .
Тогда F(x)

и Φ(x) будут отличаться постоянным слагаемым
(см. §23 теорема 2, I семестр), т.е.
(1)
где a  x  b , C – некоторое число.
Полагаем x = a . Тогда из (1) получим
  0 = F(a) + C ,
 C = – F(a) .
Следовательно, (1) можно переписать в виде

принято сокращенно записывать в виде
Символ называют

знаком двойной подстановки.
Используя это обозначение, формулу (2) можно переписать в виде
Замечание. В формуле (2) можно взять любую из перво- образных функции f(x), так как F(b) – F(a) не зависит от выбора первообразной.