Слайд 1Лекция 1. Экономико-математические методы и модели.
Денисова С.Т.
Старший преподаватель
кафедры ММиМЭ
Слайд 2План:
1.Основные понятия: моделирование, математическая модель, схема модели, требования к модели.
2.
Классификация экономико-математических моделей.
3. Примеры экономико-математических моделей.
Слайд 3Основные понятия
Модель – условный образ объекта или процесса, адекватно отображающий
исследуемую систему.
Моделирование – замещение одного исходного объекта или процесса другим
объектом, называемым моделью (рис.1.1), и проведение экспериментов с моделью с целью получения информации о системе путем исследования свойств модели.
Слайд 4Основные понятия
Система (от греч. systema – целое, составленное из частей;
соединение) – совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в одно целое для
достижения некоторой цели, определяемой назначением системы.
Математическая модель – математическое описание исследуемого процесса или объекта.
Слайд 5Основные понятия
Структура системы задается перечнем элементов, входящих в состав системы,
и связей между ними.
Процесс (от лат. processus – продвижение) –
последовательная смена состояний системы во времени или случайная смена состояний.
Состояние системы задается совокупностью значений переменных, описывающих это состояние.
Слайд 6Схема модели сложной системы
СИСТЕМА
α1 α2…. αk
Z1 Z2 …Z1
X1
X2
Xn
Внешняя среда
Внешняя
среда
Y1
Ym
Y2
РИС 1.1
X1 ,,,Xn входные
переменные
Y1 ,,,Ym выходные переменные
Z1 ,,,Zl переменные, характеризующие состояние системы
α1 …..αk –параметры системы
Слайд 7
Основные требования к модели:
простота модели;
адекватность исследуемой системе.
Простота модели обусловлена необходимостью
построения модели, которая может быть рассчитана доступными методами.
Адекватность (от лат.
adaequatus – приравненный, равный) –соответствие модели оригиналу, характеризуе-мое степенью близости свойств модели свойствам исследуемой системы зависит от:
степени полноты и достоверности сведений об исследуемой системе;
уровня детализации модели.
Моделирование может проводиться:
в условиях полной определенности, означающей наличие точной информации обо всех исходных параметрах;
в условиях неопределенности, обусловленных:
неточностью сведений о параметрах; отсутствием сведений о значениях некоторых параметров.
Слайд 8Классификация экономико-математических моделей
Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на
классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели
моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, балансовые, эконометрические, оптимизационные, сетевые, систем массового обслуживания, имитационные (экспертные).
По учёту фактора времени различают статические и динамические модели.
Слайд 9В статических моделях экономическая система описана применительно к одному определённому
моменту времени
Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.
По учёту
фактора неопределённости различают:
Детерминированные (с однозначно определёнными результатами)
и стохастические( с различными вероятностными результатами)
Слайд 10Экономико-статистическое моделирование осуществляется в следующем порядке:
1) определение цели решаемой задачи,
экономический анализ и выявление факторов, влияющих на целевой результат;
2) определение
математической формы связи независимых переменных (факторов) и результата;
3) сбор необходимых данных и их обработка;
4) вычисление параметров экономико-статистической модели;
5) анализ полученных данных, экономическая оценка и интерпретация модели.
Экономико-статистические модели могут быть представлены в виде производственных функций.
Слайд 11Примеры экономико-математических моделей Составление проектов землеустройства
Задача1: Установить координаты местоположения фермы,
при которых затраты на транспортировку кормов будут минимальными.
Объём
работ f по перемещению грузов Pi от заданных точек M(xi , yi) можно выразить формулой:
f=Pi Ri ,где Ri – расстояние перевозки;
Pi – масса перевозимого груза.
Выразив R через координаты, получим задачу нелинейного программирования:
Слайд 122. Задача сельскохозяйственного предприятия
В сельскохозяйственном предприятии имеется 800 тыс. руб.,
которые можно затратить на трансформацию кустарника в пашню и на
получение урожая зерновых на этих площадях. Денежные затраты на освоение 1 га под пашню оценивают в 15 тыс.руб., а на увеличение урожайности на 1 ц с 1 га – в 3 тыс.руб.
Обозначим через х1 – площадь трансформируемых земель, х2 – урожайность зерновых.
Количество произведённой продукции в стоимостном выражении связано с переменными х1, х2 следующей функцией:
Z=5 х1 х2+10х2 .Требуется определить такие значения х1
и х2 , чтобы Z было максимальным.
Слайд 13Экономико-математическая модель задачи:
Z=5 х1 х2+10х2 →max
15х1+3х2 = 800;
x1
≥0 ,
x2 ≥0.
Задача нелинейного программирования.
Слайд 14Задача 3:
Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс.руб.
известно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс.
руб., а на зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции составит Q=0.001x0.6·y0.4 .
Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?
Слайд 15Экономико-математическая модель:
Целевая функция имеет вид:
0.001x0,6·y0,4 →max
при ограничениях:
x+y≤150,
x≥0 ,
y ≥0
Задача нелинейного программирования.
Слайд 16Примеры экономико-математических моделей
4.Задача об использовании ресурсов (задача планирова-ния производства). Для
производства трёх видов продукции А, В, С используются три вида
ресурсов. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции приведены в табл1 .
Слайд 17Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от
её реализа-ции будет максимальной.
Экономико-математическая модель задачи ЛП:
х1 – число
единиц продукции вида А,
х2 – число единиц продукции вида В,
х3– число единиц продукции вида С,
F= 10x1+14x2+12x3→max (суммарная стоимость)
При ограничениях
4х1+2х2+х3≤180
3х1+х2+3х3≤210
х1+2х2+5х3≤236
x1 ≥0 , x2 ≥0, x3 ≥0
Слайд 18Задача 5 ( задача землеустройства в с/х)
В хозяйстве имеется 200
га неиспользуемых земель , пригодных для освоения под пашню и
сенокос. Затраты труда на освоение 1 га земель под пашню составляют 200 чел.-ч., в сенокос – 50 чел.-ч. Для вовлечения земель в с/х –ый оборот предприятие может затратить не более 15000 чел.-ч. механизированного труда. Стоимость продукции, получаемой с 1 га пашни, составляет 800 руб., с 1 га сенокосов – 300 руб. В задании на проектирование установлено, что площадь земель, осваиваемых под пашню, не должна превышать 2/3 площади сенокосов. Требуется определить, какую площадь необходимо освоить под пашню и сенокосы, чтобы получить максимальное количество продукции в стоимостном выражении.
Слайд 19Введём следующие обозначения:
х1 – площадь, трансформируемая в пашню, га;
Х2 –площадь,
трансформируемая в сенокос, га.
Целевая функция:
F(x1,x2 )=800x1+300x2→max
Ограничения:
x1+x2≤200; (общее кол-во
земли)
200x1+50x2≤15000; (трудовые ресурсы)
2/3 x2 ≥ x1; (соотношение площадей пашни и сенокосов)
(или x1- 0,667 x2 ≤0 )
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Задача линейного программирования.
Слайд 20Задача 6. Оптимальное использование
рабочих агентов
Торговая фирма продаёт товары в
n различных городах, покупательная способность жителей которых оценивается bj у.е.
J=1,2,..n. Для реализации товаров фирма располагает n торговыми агентами, каждого из которых она направляет в один из городов. Профессиональный уровень агентов различен. Доля реализуемых i-м торговым агентом покупательных способностей составляет ai , i=1,2,..n. Как следует распределить торговых агентов по городам, чтобы фирма получила максимальную выручку от продажи товаров? (Ограничения: В каждый город направляется 1 торговый агент, и один торговый не может работать в 2-х городах)
Слайд 21Экономико-математическая модель
ci j = ai bj - характеризует величину покупательных
способностей, реализуемых i-м торговым агентом в j-м городе. Введём
Слайд 22Общая задача
математического программирования
Найти максимум (минимум) функции y=f(x1,x2, …,хn),
при условии, что независимые переменные x1,x2, …,хn удовлетворяют системе ограничений:
g1(x1,x2,
…,хn) ≤b1,
…………………………
gk(x1,x2, …,хn) ≤bk,
gk+1(x1,x2, …,хn) =bk+1,
…………………………
gp(x1,x2, …,хn) =bp,