Лекция 1. Экономико-математические методы и модели

Классификация экономико-математических моделей.
3. Примеры экономико-математических моделей.

исследуемую систему.
Моделирование – замещение одного исходного объекта или процесса другим

объектом, называемым моделью (рис.1.1), и проведение экспериментов с моделью с целью получения информации о системе путем исследования свойств модели.

соединение) – совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в одно целое для

достижения некоторой цели, определяемой назначением системы.
Математическая модель – математическое описание исследуемого процесса или объекта.

и связей между ними.
Процесс (от лат. processus – продвижение) –

последовательная смена состояний системы во времени или случайная смена состояний.
Состояние системы задается совокупностью значений переменных, описывающих это состояние.

среда
Y1
Ym
Y2
РИС 1.1
X1 ,,,Xn входные

переменные
Y1 ,,,Ym выходные переменные
Z1 ,,,Zl переменные, характеризующие состояние системы
α1 …..αk –параметры системы

построения модели, которая может быть рассчитана доступными методами.
Адекватность (от лат.

adaequatus – приравненный, равный) –соответствие модели оригиналу, характеризуе-мое степенью близости свойств модели свойствам исследуемой системы зависит от:
степени полноты и достоверности сведений об исследуемой системе;
уровня детализации модели.
Моделирование может проводиться:
в условиях полной определенности, означающей наличие точной информации обо всех исходных параметрах;
в условиях неопределенности, обусловленных:
неточностью сведений о параметрах; отсутствием сведений о значениях некоторых параметров.

классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели

моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, балансовые, эконометрические, оптимизационные, сетевые, систем массового обслуживания, имитационные (экспертные).
По учёту фактора времени различают статические и динамические модели.

моменту времени
Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.
По учёту

фактора неопределённости различают:
Детерминированные (с однозначно определёнными результатами)
и стохастические( с различными вероятностными результатами)

экономический анализ и выявление факторов, влияющих на целевой результат;
2) определение

математической формы связи независимых переменных (факторов) и результата;
3) сбор необходимых данных и их обработка;
4) вычисление параметров экономико-статистической модели;
5) анализ полученных данных, экономическая оценка и интерпретация модели.
Экономико-статистические модели могут быть представлены в виде производственных функций.

при которых затраты на транспортировку кормов будут минимальными.
Объём

работ f по перемещению грузов Pi от заданных точек M(xi , yi) можно выразить формулой:
f=Pi Ri ,где Ri – расстояние перевозки;
Pi – масса перевозимого груза.
Выразив R через координаты, получим задачу нелинейного программирования:

которые можно затратить на трансформацию кустарника в пашню и на

получение урожая зерновых на этих площадях. Денежные затраты на освоение 1 га под пашню оценивают в 15 тыс.руб., а на увеличение урожайности на 1 ц с 1 га – в 3 тыс.руб.
Обозначим через х1 – площадь трансформируемых земель, х2 – урожайность зерновых.
Количество произведённой продукции в стоимостном выражении связано с переменными х1, х2 следующей функцией:
Z=5 х1 х2+10х2 .Требуется определить такие значения х1
и х2 , чтобы Z было максимальным.

≥0 ,
x2 ≥0.
Задача нелинейного программирования.

известно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс.

руб., а на зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции составит Q=0.001x0.6·y0.4 .
Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?

x+y≤150,
x≥0 ,
y ≥0
Задача нелинейного программирования.

производства трёх видов продукции А, В, С используются три вида

ресурсов. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции приведены в табл1 .

её реализа-ции будет максимальной.
Экономико-математическая модель задачи ЛП: х1 – число

единиц продукции вида А,
х2 – число единиц продукции вида В,
х3– число единиц продукции вида С,
F= 10x1+14x2+12x3→max (суммарная стоимость)
При ограничениях
4х1+2х2+х3≤180
3х1+х2+3х3≤210
х1+2х2+5х3≤236
x1 ≥0 , x2 ≥0, x3 ≥0

га неиспользуемых земель , пригодных для освоения под пашню и

сенокос. Затраты труда на освоение 1 га земель под пашню составляют 200 чел.-ч., в сенокос – 50 чел.-ч. Для вовлечения земель в с/х –ый оборот предприятие может затратить не более 15000 чел.-ч. механизированного труда. Стоимость продукции, получаемой с 1 га пашни, составляет 800 руб., с 1 га сенокосов – 300 руб. В задании на проектирование установлено, что площадь земель, осваиваемых под пашню, не должна превышать 2/3 площади сенокосов. Требуется определить, какую площадь необходимо освоить под пашню и сенокосы, чтобы получить максимальное количество продукции в стоимостном выражении.

трансформируемая в сенокос, га.
Целевая функция:
F(x1,x2 )=800x1+300x2→max
Ограничения:
x1+x2≤200; (общее кол-во

земли)
200x1+50x2≤15000; (трудовые ресурсы)
2/3 x2 ≥ x1; (соотношение площадей пашни и сенокосов)
(или x1- 0,667 x2 ≤0 )
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Задача линейного программирования.

n различных городах, покупательная способность жителей которых оценивается bj у.е.

J=1,2,..n. Для реализации товаров фирма располагает n торговыми агентами, каждого из которых она направляет в один из городов. Профессиональный уровень агентов различен. Доля реализуемых i-м торговым агентом покупательных способностей составляет ai , i=1,2,..n. Как следует распределить торговых агентов по городам, чтобы фирма получила максимальную выручку от продажи товаров? (Ограничения: В каждый город направляется 1 торговый агент, и один торговый не может работать в 2-х городах)

способностей, реализуемых i-м торговым агентом в j-м городе. Введём

при условии, что независимые переменные x1,x2, …,хn удовлетворяют системе ограничений:
g1(x1,x2,

…,хn) ≤b1,
…………………………
gk(x1,x2, …,хn) ≤bk,
gk+1(x1,x2, …,хn) =bk+1,
…………………………
gp(x1,x2, …,хn) =bp,