Лекция 18. Законы теплового излучения. Гипотеза Планка

и Вина
Формула Рэлея - Джинса
Квантовая гипотеза и формула Планка

свойства
Любой процесс электромагнитного (э/м) излучения связан с

потерей энергии (того или иного вида) у источника (излучателя). В зависимости от вида энергии, которую теряет излучатель различают:
тепловое излучение, т.е. испускание э/м волн нагретыми телами за счет их внутренней энергии (причиной излучения является возбуждение атомов, молекул вещества вследствие их теплового движения);
люминесценцию, т.е. излучение (свечение) тел за счет всех других видов энергии (кроме внутренней энергии) или, иначе говоря, это излучение света телами, избыточное над тепловым излучением этих тел.
Замечание. В люминесценции различают:
хемилюминесценцию – свечение веществ за счет энергии, выделяемой при химических превращениях;
электролюминесценцию – свечение в газовых разрядах, у поверхностей твердых тел под действием электрического поля;
катодолюминесценцию – свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронными пучками;
фотолюминесценцию – свечение тел за счет поглощенного света

свойства
Тепловое излучение имеет место при любой температуре Т

> 0 К; однако при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные λm2 ~ 1…10 мкм) э/м волны, а при высоких температурах излучателя доминирует ультрафиолетовая (λm1 ~ 0,1 мкм) область в спектре излучения.

Опыт показывает, что единственным видом э/м излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение.
Если поместить в замкнутую отвакуумированную полость с идеально отражающими стенками тела с различными температурами, то в такой системе начнется теплообмен путем испускания и поглощения э/м волн между телами и телами и стенками полости.

Iλ

λ

λm2

λm1

T1

T2

>

T1

T2

Трав

свойства
Через некоторое время (оно зависит от свойств

излучателей и их исходного неравновесного состояния) неизбежно установится термодинамическое равновесие в этой системе, соответствующее определенной температуре Трав. За любой промежуток времени испускаемая телами энергия становится равной поглощаемой энергии, и плотность энергии излучения в пространстве между телами достигает определенной величины, соответствующей Трав. Такое состояние излучения в полости остается неизменным во времени (в отсутствии внешних воздействий).
Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при увеличении температуры.
Всякое нарушение равновесия в системе «тело – излучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие (см. принцип Ле Шателье – Брауна)

теплового излучения будем характеризо-вать мощностью, излучаемой с единицы поверхности тела.

Энергетической светимостью Rэ называется величина, измеряемая потоком э/м излучения Фэ, испускаемым единицей поверхности тела (с температурой Т) по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π, т.е. в полусферу):
Rэ = Фэ /S, [Вт/м2] (1)
где S – площадь излучающей поверхности.

S; T

Замечание. Энергетическая светимость – интегральная характеристика теплового излучения.

частот ω или длин, в основном в оптическом диапазоне: λ

≈ 0,01…1000 мкм, и имеет сплошной спектр.
Распределение энергии в спектре излучения описывается спектральной плотностью энергетической светимости или испускательной способностью тела:
rω, T = dRω, T /dω,[Дж/м2.рад] (2)
где dRω, T - мощность излучения, испускаемая в узком спект-ральном интервале dω единицей поверхности при заданной Т.
Испускательная способность зависит от температуры Т и частоты ω (или длины волны λ), т.е. является функцией: rω, T = f(ω, T) (или функцией: rλ, T = f’(λ, T)).
Если известна функция rω, T, то энергетическая светимость может быть определена как: Rэ = или Rэ = , где dω и dλ – принадлежат одному и тому же спектральному интервалу и, соответственно, равны элементарные мощности:
dRω,T = dRλ, T или rω,T.dω = rλ,T.dλ

Интегральные и спектральные характеристики теплового излучения

частот ω или длин, в основном в оптическом диапазоне: λ

≈ 0,01…1000 мкм, и имеет сплошной спектр.
Распределение энергии в спектре излучения описывается спектральной плотностью энергетической светимости или испускательной способностью тела:
rω, T = dRω, T /dω, [Дж/м2.рад] (2)
где dRω, T - мощность излучения, испускаемая в узком спектральном интервале dω единицей поверхности при заданной Т.
Испускательная способность зависит от температуры Т и частоты ω (или длины волны λ), т.е. является функцией: rω,T = f(ω, T) (или функцией: rλ, T = f’(λ, T)).
Если известна функция rω, T, то энергетическая светимость может быть определена как: Rэ = или Rэ = , где dω и dλ – принадлежат одному и тому же спектральному интервалу и, соответственно, равны элементарные мощности:
dRω,T = dRλ, T или rω,T.dω = rλ,T.dλ

Интегральные и спектральные характеристики теплового излучения

используют формулы преобразования: или
т.к. dω и

dλ принадлежат одному и тому же участку спектра и для них выполняются соотношения

Определение. Поглощательная способность тела – это отношение поглощённого единицей поверхности тела лучистого потока dΦ”ω, заключённого в узком спектральном интервале [ω, ω+dω], к потоку излучения dΦω, падающему на 1 поверхности в этом же спектральном интервале, т.е.


Замечание. Иногда аω,Т - называют коэффициентом монохромати- ческого поглощения, причем - аω,Т = f (ω,T, материал тела).

способность аω,T = 1, называется абсолютно чёрным. Реальные тела, для

которых аω,T < 1, называются серыми.
Модель абсолютно чёрного тела (АЧТ)

Т = const

АЧТ

л у ч

Замечание. Сажа и платиновая чернь по своим оптическим характеристикам приближаются к АЧТ. Эксперимент показывает, что тело, испускающее больше лучистой энергии, должно и больше поглощать, т.е. обладать большей аω,T. Это следствие равновесности теплового излучения.

Почти замкнутая полость с малым отверстием, через которое проникает внутрь излучение (тепловой луч). Температура стенок поддерживается постоянной. Попавшее излучение после многократных отражений от внутренних стенок практически полностью поглотится ими. Поэтому само малое отверстие можно принять за АЧТ, так как для него аω,T = 1 (отверстие полностью поглотило излучение).

также предложил модель АЧТ.
Формулировка. Отношение испускательной способности к поглощательной способности

не зависит от природы тела (вещества) и является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (или длины волны) и температуры.



где - испускательная способность АЧТ (т.к. = 1)
Вывод. Зная испускательную способность АЧТ, и определив экспериментально спектральный коэффициент поглощения для рассматриваемого тела, можно определить испускательную способность этого тела:

анализирует экспериментальные данные по изучению реальных тел (серых). Пришел к

выводу, что энергетическая светимость Rэ любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры . Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов.
Л.Больцман в 1884г., исходя из термодинамических соображений, получил теоретически выражение для энергетической светимости АЧТ:
, где Ϭ = 5,67*10-8
Ϭ – Постоянная Стефана Больцмана.
Замечание: для серых тел закон излучения должен быть дополнен поправочным коэффициентом: ε= <1

то => (3) выраженное через функцию



=> , где некоторая функция

Замечание. Так как

Интегральные и спектральные характеристики теплового излучения

(4)

к «0»:

где λm - значение λ, отвечающее экстремуму функции, а функция - другая, аналогичная функция.
Тогда, определяя экстремум,  (из опыта известно, что ); следовательно решение последнего уравнения дает некоторое число:
(5)
где b = 2,9*10-3 (м*К) – постоянная Вина. Иначе (5) можно записать в виде закона «смещения» Вина:
(6)

Интегральные и спектральные характеристики теплового излучения

наибольшей испускательной способности f’(λ,T), обратно пропорциональна абсолютной температуре тела.
Площадь под

кривой есть энергетическая светимость А.Ч.Т.

исходя из теоремы классической статистической физики о равнораспределении энергии по

степеням свободы и предписывая каждому электромагнитному колебанию связанному с электромагнитной воной излучения, среднюю энергию =k*T, получили выражение для универсальной функции (или испускательной способности АЧТ):

, (7)

где Больцмана

с экспериментом лишь в длинноволновой области спектра, но резко расходится

- в короткой УФ-области.

Формула Рэлея – Джинса

бесконечное значение. Этот результат, получивший название «ультрафиолетовой катастрофы», находится в

противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях плотности лучистой энергии.

Вывод: Полученная на основе классических представлений о непрерывности электромагнитного излучения, формула Рэлея - Джинса дала отрицательный результат.

Формула Рэлея – Джинса

теплового излучения, Макс Планк высказал гипотезу о том, что излучение

испускается телами не непрерывно, а порциями (или квантами) энергии, величина которых пропорциональна частоте излучения:
или , где

- постоянная Планка

Замечание. Так как размерность постоянной Планка - «энергия х время» - совпадает с размерностью величины, которую в механике называют «действием», то h часто называют «квантом действия».

Замечание: В механике: «действие» - это

том, что любая физическая величина, в том числе и энергия

(излучения), изменяется непрерывным образом, т.е. за бесконечно малый промежуток времени ее изменение всегда бесконечно мало.
Именно гипотеза Планка положила начало квантовой теории (механики) - современной физической теории, в которой идея квантования (т.е. дискретности) распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы.

Если излучение испускается квантами (порциями) , то полная энергия Eп излучения должна быть кратной этой величине, т.е. в общем случае:
(9) (где n=0, 1, 2, 3…)

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

по значениям энергии, как известно, подчиняется закону Больцмана; и тогда

вероятность Pn - того, что энергия колебания с частотой ω имеет значение Eп, определится выражением:

(10) , где

Число колебаний с энергией

Полное число колебаний

Зная вероятность Pn появления различных значений энергии колебания, можно найти среднее значение этой энергии.

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

,


введя вспомогательную переменную , которая, допустим, может принимать непрерывный ряд значений

=>

– сумма членов убывающей бесконечной геометрической прогрессии 1-ым членом =1и знаменателем exp(-x)

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

окончательно выражение для средней энергии излучения с частотой ω:

(11)


Замечание. Если ħ→0 , то формула (11) переходит в классическое выражение
так как → выполняется тем точнее чем меньше ħ;

Если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы = kT

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

заключено излучение, приходится (элементарное число стоячих

электромагнитных волн), которое, как показывает статистическая физика, равно:


Замечание. Вдоль заданного направления могут распределятся две электромагнитных волны одинаковой частоты (ω), но ортогонально поляризованные.
Теперь перемножив (11) и (12) => объемную плотность энергии, приходящуюся на интервал частности dω:

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

=>





=> выражение спектральной объемной плотности энергии равновесного теплового излучения (Это получено Планком (одна из функций Планка))

Замечание. - полная объемная плотность энергии равновесного излучения

Замечание.

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

(или иначе;

испускательная способность АЧТ) →
связана со спектральной плотностью излучения , как:

(14)



Замечание. Формулы (13) и (14) – называются формулами Планка для излучения А.Ч.Т.

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

Используя преобразование

(**):

,

Можно => для

С помощью формулы (14) или (15) можно получить все известные законы теплового излучения и получить значения const-т: σ, b. =>

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

энергетическую светимость АЧТ через функцию Планка:

используя подстановку , => ; =>

Закон Стефана-Больцмана, где

-

-

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

производную - 0, найдем экстремум функции

; для этого необходимо, чтобы
Выражение {……}=0. Введя обозначения
получим трансцендентное уравнение:

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения

Вина

, функция Планка превращается в функцию Рэлея-Джинса:

Б) при ħɷ

>> kT => функция Вина:

Гипотеза Планка о дискретности электромагнитного излучения