Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 2
Содержание
- 1. Лекция 2
- 2. Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей двух событий. Вероятность
- 3. Условные вероятности Пусть A и B – два
- 4. Условной вероятностью события B при условии, что
- 5. Вероятность произведения событий Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух
- 6. Событие A называется независимым от события B,
- 7. Пример Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена
- 8. РешениеОпыт: по мишени стреляют два спотртсмена.Пусть событие
- 9. а) Составим событие В={в мишень попадут оба
- 10. Так кака события независимы, то
- 11. Формула полной вероятности Рассмотрим n попарно несовместных событий
- 12. Теорема. Пусть события образуют полную группу. Тогда
- 13. События обычно называют гипотезами, они исчерпывают
- 14. Пример В сборочный цех завода поступает 60%
- 15. Решение. Опыт: в сборочный цех поступают детали
- 16. Слайд 16
- 17. Схема Бернулли. Формула Бернулли. С понятием «независимых событий»
- 18. Схема Бернулли Последовательность n независимых испытаний, в каждом
- 19. Формула Бернулли Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли,
- 20. Теорема. Если производится n независимых испытаний, в
- 21. Вероятность того, что в n опытах схемы
- 22. Предельные теоремы в схеме Бернулли Использование формулы Бернулли
- 23. Теорема Пуассона Теорема. Если число испытаний неограниченно увеличивается
- 24. Из предельного равенства (1) при больших n
- 25. ПримерВероятность изготовления нестандартной детали p=0,004. Найти вероятность
- 26. Решение.
- 27. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа В тех случаях,
- 28. Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p
- 29. Равенство (2) тем точнее, чем больше n. Выражение называется функцией Гаусса, а ее график — кривой вероятностей
- 30. Для функции составлены таблицы значений (они
- 31. Пример Вероятность изделия детали первого сорта на данном
- 32. По таблицеТогда
- 33. Теорема (Интегральная теорема Муавра—Лапласа). Если вероятность p
- 34. Пример Производство дает 1% брака. Какова вероятность того,
- 35. По таблице значений функции - функции Лапласа, получаем:
- 36. Скачать презентанцию
Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей двух событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения Вероятность суммы двух несовместных событий A и B определяется по формуле
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Вероятность суммы событий
Теорема сложения вероятностей двух событий.
Вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения
двух несовместных событий A и B определяется по формуле
Слайд 3Условные вероятности
Пусть A и B – два события, рассматриваемые в
некотором опыте. Наступление одного события (например, A) может влиять на
возможность наступления другого (B).Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Слайд 4 Условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A,
называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события A,
причем P(A)≠0, обозначаетсяВероятность P(B), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.
Слайд 5Вероятность произведения событий
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии,
что первое событие произошло:
Слайд 6 Событие A называется независимым от события B, если его условная
вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство
Теорема умножения вероятностей
двух независимых событийВероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Слайд 7Пример
Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, для
второго 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному
выстрелу. Найти вероятность того, чтоа) в мишень попадут оба спортсмена;
б) в мишень попадет хотя бы один спортсмен.
Слайд 8Решение
Опыт: по мишени стреляют два спотртсмена.
Пусть событие
{первый спортсмен попал в мишень}
{второй спортсмен попал в мишень}{первый спортсмен промахнулся}
{второй спортсмен промахнулся}
Причем
тогда
Слайд 9а) Составим событие В={в мишень попадут оба спортсмена}=
Так как события
А1 и А2 независимы, то по теореме умножения получим
б) С={в
мишень попадет хотя бы один спортсмен}Рассмотрим событие {в мишень не попадет ни один спортсмен}=
Слайд 11Формула полной вероятности
Рассмотрим n попарно несовместных событий
для которых известны
вероятности
отличные от нуля
Событие A, которое может произойти вместе
с одним из событий причем известны условные вероятности
Слайд 12 Теорема. Пусть события
образуют полную группу.
Тогда для любого события
А имеет место формула полной вероятности
Слайд 13 События обычно называют гипотезами, они исчерпывают все возможные предположения
(гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А
— один из возможных исходов второго этапа.Числа называют вероятностями гипотез.
Слайд 14Пример
В сборочный цех завода поступает 60% деталей из цеха
№1 и 40% -- из цеха №2. Известно, что из
каждых 100 деталей, изготовленных цехом №1, 95 удовлетворяет стандарту, а из 100 деталей цеха №2, удовлетворяют стандарту 85 деталей.Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет удовлетворять стандарту.
Слайд 15Решение. Опыт: в сборочный цех поступают детали из цеха №1
и цеха №2.
А={взятая наудачу деталь стандартна}
Гипотезы: =
{деталь изготовлена цехом №1}= {деталь изготовлена цехом №2}
Слайд 17Схема Бернулли. Формула Бернулли.
С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых
испытаний (опытов)».
Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют
собой независимые события.При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.
Слайд 18Схема Бернулли
Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может
произойти некоторое событие A (его называют успехом) с вероятностью p
или противоположное ему событие (его называют неудачей) с вероятностью q=1-pназывается схемой Бернулли.
Слайд 19Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении
вероятности того, что в n независимых опытах событие А наступит
m раз (0≤m≤n).Обозначается искомая вероятность так:
Слайд 20 Теорема.
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события A равна p, а вероятность его не
появления равна q=1-p, то вероятность того, что событие A произойдет m раз определяется формулой Бернулли
Слайд 21 Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие A
появится от до раз
определяется по формулеВероятность того, что в n опытах событие A появится хотя бы один раз, определяется формулой
Слайд 22Предельные теоремы в схеме Бернулли
Использование формулы Бернулли при больших значениях
n и m вызывает большие трудности, так как это связано
с громоздкими вычислениями.Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности при
Слайд 23Теорема Пуассона
Теорема. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятность p
наступления события A в каждом испытании неограниченно уменьшается, но так,
что их произведение np является постоянной величиной (np=a=const), то вероятность удовлетворяет предельному равенству
Слайд 24 Из предельного равенства (1) при больших n и малых p
вытекает приближенная формула Пуассона
Эту формулу применяют, когда вероятность p успеха
крайне мала, т. е. сам по себе успех является редким событием, но количество испытаний n велико, среднее число успехов не значительно. Приближенную формулу обычно используют, когда n≥50,np≤10.
Слайд 25Пример
Вероятность изготовления нестандартной детали p=0,004. Найти вероятность того, что среди
1000 деталей окажется:
А) 5 нестандартных;
Б) от 3 до 5 нестандартных.
Слайд 27Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
В тех случаях, когда число испытаний
n велико, а вероятность p не близка к нулю, для
вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра-Лапласа.
Слайд 28 Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события A
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы,
а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формулеГде
Слайд 29 Равенство (2) тем точнее, чем больше n.
Выражение
называется функцией Гаусса, а
ее график — кривой вероятностей
Слайд 30 Для функции составлены таблицы значений (они находятся, как правило,
в так называемых «Приложениях» книг по теории вероятностей).
Пользуясь таблицей,
следует учитывать, что:а) функция четная, т.е.
б) при x≥4 можно считать, что
Слайд 31Пример
Вероятность изделия детали первого сорта на данном станке равна 0,8.
Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется
75 деталей первого сорта.Решение. А={деталь первого сорта}
По условию n=100, m=75, p=0,8, тогда
q=1-0,8=0,2
Слайд 33 Теорема (Интегральная теорема Муавра—Лапласа).
Если вероятность p наступления события A
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы,
то вероятностьможет быть найдена по приближенной формуле
Слайд 34Пример
Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых
на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?
Решение. А={деталь
бракованная}По условию n=1100, 0≤m≤17, p=0,01, тогда
q=1-0,01=0,99.
Тогда
