Лекция 3 1 Проф. Пиралова О.Ф

линии плоскости
Пересечение линии линией
Пересечение линии с плоскостью
Взаимное пересечение плоскостей
Метод конкурирующих

точек

Х

z

o

y

A2 ≡ B2

A1

B1

YA

YB

YA

С1 ≡ D1

C2

D2

Zc

ZD

ZC

класса.
1-й класс – задачи позиционные;
2-й класс – задачи метрические.
Позиционными называются

такие задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.

Проф. Пиралова О.Ф.

параллельного проецирования следует, что проекции точки К (К1, К2 и

К3) принадлежащие прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой т. е. Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.
Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К1, К2 и К3), принадлежащие прямой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ.

Проф. Пиралова О.Ф.

а
Проф. Пиралова О.Ф.

для определения взаимной видимости двух геометрических фигур.
Конкурирующими называются точки пространства,

у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции.

Проф. Пиралова О.Ф.

точки А и В (совпадают горизонтальные

проекции А1≡В1) и C и D (совпадают фронтальные проекции С2≡D2).
Точка В находится выше точки А относительно плоскости π1 (ZB>ZA), поэтому на плоскости π1 видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S).
На плоскости π2 видна точка D, т. К. она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π2, YD>YC) и закрывает невидимую точку С.

Проф. Пиралова О.Ф.

точки;
2. Имеет одну общую точку и прямую параллельную прямой, принадлежащей

поверхности.

x2,1

Дано: α(a b),
с α

a1

11

21

b1

b2

12

22

a2

с 2

с1

Проф. Пиралова О.Ф.

принадлежащей поверхности
Проф. Пиралова О.Ф.

с; с α.
Определить: принадлежит ли d

поверхности α ?

21

Задача на определение принадлежности

Проф. Пиралова О.Ф.

принадлежит ( ) поверхности α(a

║ b),

x2,1

b2

a1

b1

A2

h2

h1

A1

а2

12

22

21

12

Проф. Пиралова О.Ф.

скрещиваться и могут быть параллельны.
Прямые a и b ( a

b) пересекаются. Точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых расположены на одной линии проекционной связи.

Проф. Пиралова О.Ф.

несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в

бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

x2,1

Проф. Пиралова О.Ф.

плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном

чертеже точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых).

Проф. Пиралова О.Ф.

составляет 90°.
Кроме того, в начертательной геометрии существует еще одно утверждение

на эту тему:
Две прямые перпендикулярны, если одна из них линия уровня.
Для подтверждения этого заключения рассмотрим примеры.

Проф. Пиралова О.Ф.

под прямым углом ℓ h
Так как одна

из сторон h прямого угла параллельна плоскости π1, то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через горизонтальную проекцию А1 проведем горизонтальную проекцию искомой прямой ℓ 1 h 1. Отметим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и горизонтали М1= ℓ1 ∩ h1. Отметим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и горизонтали М1= ℓ1 ∩ h1. Найдем по принадлежности фронтальную проекцию точки пересечения М2. Точки А2 и М2 определяют фронтальную проекцию искомой прямой ℓ. Две проекции прямой определяют ее положение в пространстве.

┴

┴

Проф. Пиралова О.Ф.

по проведению прямой ℓ f аналогичны рассмотренным с той

лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (рис. б).

┴

Проф. Пиралова О.Ф.

к плоскости α перпендикуляр АD.
Для определения направления проекций перпендикуляра, проведем

проекции горизонтали h и фронтали f плоскости ∆ ABC. После этого из точки А1 восстанавливаем перпендикуляр к h1, а из А2 – к f2

А2

С2

В2

А1

В1

С1

h1

f1

h2

f2

D1

D2

12

11

21

21

Проф. Пиралова О.Ф.

была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции этой прямой

были перпендикулярны к одноименным следам

Проф. Пиралова О.Ф.

f) , восставить к плоскости α перпендикуляр АD.
Sx
h0
f0
A2
A1
D2
D1
X 2,1
Проф. Пиралова

О.Ф.

прямую, перпендикулярную к другой плоскости
a1
a2
m1
m2
n1
n2
h1
h2
f1
f2
А2
А2
ℓ1
ℓ2
X2,1
11
12
21
22
31
32
41
42
β1
β2
Проф. Пиралова О.Ф.

точки, принадлежащей прямой и поверхности.
Для решения необходимо:
1) через одну

из проекций прямой провести конкурирующую прямую, принадлежащую поверхности;
2) найти ее проекцию во второй плоскости проекций.
Если эта проекция пересечет проекцию заданной прямой, значит имеется точка пересечения прямой и поверхности.

Проф. Пиралова О.Ф.

ли точка пересечения прямой с поверхностью α ?

α
A1
B2

B1

C1

ℓ 2

ℓ 1

x2,1

A2

C2

Проф. Пиралова О.Ф.

К2
22
К1
C1
ℓ 2

ℓ 1

m 1

m 2

x2,1

21

12

11

12 ≡ 32

31

Y3

Y1

41 ≡51

42

52

Z4

Z5

Проф. Пиралова О.Ф.

достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.



Чтобы

найти такие точки достаточно ввести две вспомогательные секущие плоскости.

Проф. Пиралова О.Ф.

β(с║d).
Алгоритм решения.
1. Проводим вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость

2. и 3. Определяем проекции прямых m и n, по которым пересекаются плоскости
α(a b) и β(с║d).
4. Находим точки пересечения одноименных фронтальных проекций линий пересечения плоскостей α и β.

γ

Проф. Пиралова О.Ф.

задачи на определение линии пересечения плоскостей
Проф. Пиралова О.Ф.

δ 1
12
11
22
21
M1
M2
31
41
42
N1
N2
51
Y3
Y5
42≡ 62
61
x2,1
71 ≡ 81
82
72
≡52
32
Y4
Y5
Проф. Пиралова

О.Ф.