Лекция 34. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

свойство волн
состоит в том, что перенос
энергии волной происходит
без переноса вещества.
Основными

регулярного характера.
Ограниченный ряд
повторяющихся
возмущений
называется цугом волн.
Особое значение

газообразной)
возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между
частицами это колебание

Частицы среды, в которой
распространяется волна, не
вовлекаются в поступательное
движение, они лишь совершают
колебания около своих положений
равновесия.

частиц по отношению к
направлению, в котором распространяется волна различают продольные
и

все новые и новые области пространства.
Геометрическое место точек, до

Геометрическое место точек, колеблющихся в
одинаковой фазе, называется волновой
поверхностью.
Волновую поверхность можно провести через
любую точку пространства, охваченного
волновым процессом. Следовательно волновых
поверхностей существует бесконечно много.

простейших случаях они имеют
форму плоскости (плоская волна) или сферы
(сферическая

из положения
равновесия точек с разными
в близкие моменты

Расстояние на которое
распространяется волна за
время, равное периоду

колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

где – скорость волны, – период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между
ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной
радиан. Выразив период колебаний через частоту колебаний
получим

рассмотрением волны на
расстояниях от источника значительно
превышающих его размеры,

будут совершать колебания с запаздыванием по времени на

Даже если волна не поглощается средой, ее амплитуда уменьшается с
удалением от источника по закону т.к. энергия распределяется по
поверхности все большего радиуса. Тогда
( – амплитуда на единичном радиусе).

установить вид волнового
уравнения, сопоставим вторые
частные производные по времени
и координатам от

Сложим производные по координатам

продольная плоская
волна.
Выделим в среде цилиндрический
объем с площадью основания

которое по закону
Гука пропорционального величине
относительной деформации. То есть

Там, где отклонения частиц от по-
ложения равновесия максимальны,
деформация и напряжение равны
нулю. В местах, где частицы прохо-
дят через положение равновесия,
деформация и напряжение дости-
гают максимального значения, при-
чем положительные (растяжение) и
отрицательные (сжатие) деформа-
ции чередуются друг с другом.

что мы
можем

– масса
выделенного объема.

Проекция на ось силы упругости,
действующей на цилиндр, равна
произведению площади основания
цилиндра на разность нормальных
напряжений на основаниях цилиндра

В результате получаем уравнение
движения (II закон Ньютона) для
случая малых деформаций

в виде

и упростим

Сравнивая полученное
уравнение движения с
одномерным волновым уравнением

приходим к выводу, что
скорость продольных
упругих волн равна
корню квадратному из отношения модуля Юнга среды к ее плотности.

плоская продольная
волна
Выделим в среде элементарный объем

Выделенный нами объем обладает кинетической энергией, а также
потенциальной энергией упругой деформации:

Модуль Юнга среды
и фазовая скорость
волны связаны по формуле

дает
его полную механическую энергию, то есть
Дифференцирование уравнения плоской волны

Полученное выражение означает, что объемная плотность энергии волны
в каждый момент времени в разных точках пространства различна.
В данной точке плотность энергии изменяется со временем по закону
квадрата синуса. Этот результат справедлив для всех механических волн.

Эта энергия доставляется
от источника колебаний в различные
точки среды самой

Количество энергии, переносимое
волной через некоторую поверхность в
единицу времени, называется потоком
энергии. Если через данную за время
переносится энергия то
поток энергии равен

характеристики течения
энергии в разных точках
введена векторная физическая
величина – плотность

Плотность потока энергии численно равна потоку энергии через
единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к
направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора
плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Зная вектор плотности потока энергии во всех точках произвольной поверхности можно вычислить поток энергии через эту поверхность:

различна в
разных точках пространства, а в данной точке изменяется

Эта величина называется интенсивностью волны Таким образом,
интенсивность волны в данной точке это среднее по времени значение
плотности потока энергии волны в этой точке пространства.
Полученные выражения для интенсивности и объемной плотности энергии
справедливы для всех механических волн.

волновую поверхность
незатухающей сферической волны.
В каждой точке сферической волновой
поверхности

Если энергия волны не поглощается средой, то среднее значение потока
энергии через сферу любого радиуса должно оставаться постоянным, т.е.

частиц среды
оказываются суммой колебаний, которые
совершали бы частицы при распространении
каждой из

В случае, когда колебания, обусловленные
отдельными волнами, обладают в каждой из
точек среды постоянной разностью фаз,
волны называются когерентными.

При сложении когерентных волн возникает
явление интерференции, заключающееся в
том, что колебания в одних точках
усиливают, а в других ослабевают друг друга.

амплитудой,
называются стоячей волной.
Стоячие волны возникают при
отражении волн от преград.

В каждой точке стоячей волны
происходят колебания той же
частоты, что и у встречных волн.
Амплитуда колебаний является
периодической функцией

возникают при
возбуждении поперечных колебаний.
Причем, в точках закрепления струны обязательно располагаются

Фазовая скорость стоячей волны зависит
от силы натяжения струны и ее массы.
Частоты называются собственными
частотами струны или гармониками.
Колебания струны представляют собой наложение различных гармоник.

Гц до 20 кГц вызывают в ушах
человека ощущение звука. Поэтому

а
является наложением гармонических
колебаний с определенным набором частот.
Набор частот

Если в звуке присутствуют колебания всех
частот в некотором интервале частот, то
спектр называют сплошным.
Сплошным акустическим
спектром обладают шумы.

Дискретный набор частот
образует линейчатый спектр.
Такие колебания вызывают
ощущение звука с более или
менее определенной высотой
(тональный звук).

акустическом спектре.
Относительная интенсивность
обертонов, то есть колебаний с
более высокими частотами,
определяет

Различный спектральный состав
звуков, возбуждаемых разными
музыкальными инструментами,
позволяет отличить на слух,
например, гитару от скрипки или
рояля.

звука к ин-
тенсивности на пороге слышимости.

или
газе.
Если источник и приемник неподвижны
относительно среды, то частота
колебаний

Если же источник или приемник либо
оба они движутся относительно среды,
то частота воспринимаемая
приемником будет меньше (если
источник и приемник удаляются
друг от друга), или больше (если
источник и приемник сближаются).

Это явление называется эффектом
Доплера.

то
через одну секунду, когда
источник будет совершать
-е

Пусть теперь источник движется относительно среды со скоростью
Скорость источника будем считать положительной, если источник
движется по направлению к приемнику (наблюдателю), и отрицательной,
если источник движется в направлении от источника (наблюдателя).

Когда источник будет завершать -е колебание (через одну секунду),
«гребень», порождаемый первым колебанием будет находиться на
расстоянии численно равном Следовательно, «гребней» и
«впадин» волны должны уместиться на длине
так что длина волны, воспринимаемой наблюдателем, будет

«впадины»,
укладывающиеся на длине
численно равной
Если приемник движется

Если направление скоростей и не совпадают с проходящей через
источник и приемник прямой, то в формулу для частоты должны
входить проекции соответствующих скоростей на эту прямую.

непроводящей

вид
Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1):
Воспользуемся выражением для ротора

Раскроем двойное векторное произведение с учетом уравнения (4):

и магнитная постоянные связаны простым соотношением
со скоростью света в

Полученные волновые уравнения неразрывно связаны между собой, т.к.
они получены из уравнений Максвелла, которые одновременно содержат
напряженности и электрического и магнитного полей.

Из этих волновых уравнений следует, что электромагнитные поля могут
существовать в виде электромагнитных
волн, фазовая скорость которых равна

нейтральной
непроводящей среды
в координатной форме:
Направим ось x перпендикулярно волновым

однородной нейтральной
диэлектрической (непроводящей) среды
для случая плоской волны распространяющей вдоль

уравнений Максвелла для
плоской волны, распространяющейся вдоль оси x в

Уравнение (4) и первое из уравнений (3) показывают, что не может
зависеть ни от x, ни от t. Уравнение (2) и первое из уравнений (1) дают
такой же результат для Следовательно, отличные от нуля и
могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями,
накладывающимися на электромагнитные волны. Само поле волны не
имеет составляющих вдоль оси x. Отсюда вытекает, что векторы и
перпендикулярны к направлению распространения волны, то есть что
электромагнитные волны в однородном диэлектрике поперечны.

запишем упрощенную систему уравнений Максвелла для плоской ЭМВ,
распространяющейся вдоль оси

Можно заметить, что оставшиеся 4 уравнения объединяются в две
независимые группы:

Первая группа уравнений связывает компоненты и а вторая –
компоненты и
Если в пространстве было создано переменное электрическое поле
то оно будет порождать переменное магнитное поле которое в свою
очередь создаст переменное электрическое поле Поля и при
этом не возникают.

уравнение по координате x
Подставим выражение для
из второго уравнения. Тогда
Проводя

Это уравнение будет выполняться,
если в любой

Это означает, что колебания полей происходят с
одинаковой частотой и начальной фазой; эти колебания
распространяются с одинаковой скоростью (длиной волны).

на синус получим
связь между амплитудами полей
Аналогичное соотношение для
первого уравнения

Перемножая эти соотношения, получим:

1888 г. Генрихом
Герцем с помощью вибратора, состоящего из двух стержней,

Получил стоячую волну при отражение от проводящего экрана и измерил
длину волны и вычислил скорость, обнаружил преломление, отражение и
поляризацию ЭМВ.

умножив ее
объемную плотность энергии на
фазовую скорость.
Плотность энергии ЭМВ слагается из
плотности

Вектор Пойнтинга является аналогом
вектора Умова для механических волн.