Лекция 7

потерять корни, но только те, которые не вошли в новую

область определения.

Доказательство. (достаточно предъявить пример)
Пример.




применим универсальную тригонометрическую подстановку,






После её применения из ОДЗ пропадут числа

в ответ вместе с остальными решениями преобразованного уравнения




Практические выводы. Можно

применять преобразования, сужающие ОДЗ, если а) выяснить, какие числа выпадают из ОДЗ и б) можно проверить эти числа на принадлежность к корням уравнения.
НО не всегда это просто


Все «выпавшие» числа не проверить→применить не сужающее ОДЗ преобразование→корень x=1/2- из потерянной области

которое существует и равно 0 на ОДЗ данного уравнения, то

можно получить лишние корни, но это только те числа, для которых Р(х)=0

Достаточно пример:
Приём.Произведение cos удваивающихся аргументов→ ∙ умножение на sinx обеих частей ур-ния.
проверим на принадлежность решению


надо исключить из решения

НОК
Поэтому рассмотрим случаи







Ответ:

переменную, равную 0 на ОДЗ уравнения,
можно,
если

выполнить проверку в конце решения,
но
не для всех решений,
а только для тех, которые обращают в 0 то выражение ,на которое умножили.

не имеющее смысла на ОДЗ уравнения(или разделить на выражение, равное

0 на ОДЗ уравнения) ,

то можно потерять корни, но только те, для которых не имеет смысла выражение на которое умножали.
Пример.


Проверка. х-1=0 при х=1.
Пусть х=1→(1-1)1=1-1; 0=0(и). → х=1- корень.
Ответ. ±1
Практические выводы. Можно делить уравнение на выражение, содержащее переменную, и равное 0 на ОДЗ уравнения, если сделать проверку тех значений переменной, при которых выражение равно 0, на принадлежность к корням уравнения

требуя её инъективности на объединении областей значений, то можно получить

лишние корни.

Пример. х=1,
возведение в квадрат на R не инъективно, х2=1;
х= ±1

с переменной х. Множество значений х, при подстановке которых в

неравенство получается верное числовое неравенство, называется множеством истинности (или решением данного неравенства)
!!! Определение корня для неравенства не вводится!!!
Определение 2. : Неравенства называются равносильными . Если их решения совпадают.

f(x)0 на ОДЗ неравенства f(x)

Если h(x)<0 на ОДЗ неравенства f(x)
Т.3.: Если g(x)≡h(x) на ОДЗ неравенства, то
Т.4.: Если существует F(t) на объединении областей значений Ef U Eg и возрастает на нём, то
Если существует F(t) на объединении областей значений Ef U Eg и убывает на нём, то

!!! Приведите пример использования
??? Показательные неравенства? Логарифмические неравенства? иррациональные неравенства?

нет