Лекция № 11 Статистическое описание системы частиц. 1. Элементарные сведения из

вероятностей.
1.1. Статистический ансамбль. Вероятность.
1.2.

Среднее значение случайной величины.
1.3. Функция распределения (плотность вероятности).
2. Функция распределения молекул по скоростям – распределение Максвелла.
2.1. Фазовое пространство и пространство скоростей молекул. Принцип детального равновесия.
2.2. Функция распределения молекул по модулю скорости и по энергии.
2.3. Характерные скорости.
3. Распределение молекул в поле сил тяжести. 3.1.Барометрическая формула.
3.2.Распределение Больцмана.
3.3. Распределение Максвелла-Больцмана

ного огромным числом молекул, задается параметрами P,V,T, характеризующими все тело

в целом. Состояние тела, описанное таким образом называют макросос- тоянием, а само тело — макросистемой. В противопо- ложность этому, подробное описание тела с указанием, к примеру, координат и скоростей для каждой молеку- лы называют микросостоянием.

оказывается системы, состоящие из такого большого числа частиц, подчиняются еще

и другим закономерностям.
Эти закономерности называются статистическими или вероятностными. Для их описания используется математический аппарат теории вероятностей.

например, число молекул в какой-то части сосуда. Фиксируя это число

в различные моменты времени, мы получим набор дискретных значений
х1, х2, х3 ... .
которые называют статистическим ансамблем. Некоторые результаты могут повторяться в ходе измерений. Число измерений,
давших один и тот же резуль-
тат, будем обозначать Ni .
Пусть
N1 измерений дали результат х1;
N2 измерений дали результат х2;
...
Ni измерений дали результат хi.

статистический ансамбль. Отношение Ni /N назовем относительной частотой появления результата

хi , а величину Рi, равную

назовем вероятностью появления результата хi. Имея ввиду, что N очень велико, будем опускать в дальнейшем знак lim. Из (1) следует, что
Pi = (Ni /N) = 1,
то есть сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице.

(Ni + Nk)/N = Pi + Pk.
Это соотношение выражает теорему

о сложении вероятностей.
Нетрудно доказать, что вероятность одновременного появления двух статистически независимых результатов равна произведению вероятностей появления каждого:
Pi,k = PiPk.
По вероятностям появления конкретных результатов хi можно найти среднее значение х всех результатов.
Поскольку среднее значение х величины х равно сумме всех значений этой величины, деленной на количество всех значений N, то х = Nixi /N = Pixi (2)

полученные результаты на случай, когда измеряемая величина х может принимать

непрерывный ряд значений от 0 до ∞. Разобьем всю область значений х на малые интервалы, величиной ε и определим вероятность ΔРх попадания результата измерения непрерывной величины х в некоторый интервал от х до х+ε.
ΔРх = ΔNx /N , (3)
где Nx  число измерений, результаты которых попадают в указанный интервал(от х до х+ε).

этого отложим вверх от каждого интервала на оси х полоску

шириной ε и высотой Δрх/ε.




Эту столбчатую диаграмму называют гистограммой. В ней соотношение высот полосок отображает соотношение вероятностей получения результатов в конкретных интер- валах. Наглядно можно увидеть распределение вероятнос-тей по всему диапазону значений х. Площадь каждой полос-ки равна Рх, а площадь всей гистограммы на основании теоремы о сложении вероятностей равна единице.

линия, ограничивающая гистограмму сверху, превратится в гладкую кривую.

dPx =

f(x)dx

Эта кривая с математической точки зрения представля- ет некоторую функцию f(x). Ее называют функцией распре- деления вероятностей. Площадь любого столбика шириной dx под кривой f(x) по аналогии с гистограммой будет равня- ться вероятности dPx попадания результата измерения в интервал значений от х до х+dx. То есть dPx = f(x)dx (4)

площадь гистограммы, равна единице. То есть
(5)

Выразим среднее значение х через

функцию распределения f(x).
Результат в интерале х — x+dx получается в числе случаев, равном NdPx . Сумма измеренных результатов для данного диапазона составит хNdPx . Полная сумма Σ всех результатов измерения х (по всему диапазону х) выразится интегралом

среднюю величину х
(6)
Некоторые физические величины выражаются через квадраты

измеренных величин, например, кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. По аналогии с формулой (6) можно выразить средний квадрат измеренной величины х
(7)

физики используют понятие фазового пространства, в котором каждому возможному состоянию

системы соответствует одна точка фазового пространства. К примеру для системы материальных точек фазовым пространством являются координаты и импульсы всех точек. Такое представление во многих случаях упрощает описание поведения и эволюции сложных систем.
Мы будем рассматривать задачу о распределении молекул газа по скоростям и для ее решения тоже воспользуемся некоторым абстрактным пространством, описывающем состояние совокупности большого числа молекул. Назовем его пространством скоростей частиц. Допустим, мы знаем скорости всех молекул газа.

и отобразится в этом пространстве точкой. Весь набор молекул создаст

в пространстве скоростей облако точек. Внутри облака происходит движение, т.к. молекулы при столкновениях изменяют свою скорость.
Пусть газ находится в равновесном состоянии.

В стат. физике установлен принцип детального равновесия: в равновес- ной системе для любого микропро- цесса существует обратный про- цесс, протекающий с такой же ско- ростью (интенсивностью). Соглас- но этому принципу за любой интер- вал времени число перескоков моле- кул с высоких скоростей на низкие равно числу обратных перескоков.

равновесия газа во времени не изменяется и можно говорить о

равновесном распределении плотности точек в пространстве скоростей. Максвелл нашел вид функции, определяющей плотность точек в пространстве скоростей. Оказалось, что концентрация n (число точек в единичном объеме скоростей) равна



где А — константа,

dNv , попадающих в интервал скоростей от v до v

+ dv ( то есть попадающих в промежуток между сферами с радиусами v и v + dv). Объем этого промежутка равен 4πv2dv. Таким образом,
dNv = n4πv2dv.

v + dv будет равно




dPx =

f(v) dv
В левой части уравнения согласно (3) dNx /N = dРх. Тогда из (4) (dPx= f(x) dx) следует, что в правой части стоит произведение функции распределения по скоростям f(v) на dv. Таким образом,


Константу А можно найти из условия нормировки.

Ход кривой распределения по скоростям обусловлен конкуренцией двух сомножителей, входящих в функцию распределения: v2 и exp(-av2)

Т2>T1

Площадь заштрихованной полоски равна вероятно- сти того, что скорость молекулы лежит внутри интервала скоростей: Площадь под кривыми равна 1 (то есть, это вероятность, того что скорость молекулы лежит в интервале от 0 до ∞) .

какова вероятность, что любые молекулы газа имеет скорость, заключённую в

единичном интервале, включающем заданную скорость υ. Функцию f(υ) также называют плотностью вероятности.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, оптике, механике, теории упругости.

молекул газа по скоростям, для каждого газа зависит от рода

газа — массы молекулы m и от параметра состояния - температуры Т. Давление p и объём газа V на распределение молекул не влияют.

В показателе степени стоит отношение кинети-ческой энергии, соответствующей данной скорости v к средней энергии kT теплового движения молекул при данной температуре:

молекул ε.
Из распределения Максвелла можно получить функцию распределения молекул по

энергиям ε в явном виде. Для этого в вероятности f(v)dv от переменной v нужно перейти к переменной ε = mv2/2. С этой целью в функцию f(v)dv нужно подставить

и

Получим

мы можем вычислить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул, пользуясь

формулой (6).

(6)

Подставив сюда найденную нами функцию f(ε), в результате интегрирования получим




Этот результат согласуется с полученным ранее в рамках молекулярно-кинетической теории.

, для которой функция распределения f(v) принимает максимальное значение. Находится

из условия экстремума функции: f ′(vвер ) = 0.

– масса моля.
Для средней скорости молекул Vc по формуле

(6), подставив туда функцию распределения Максвелла, получим:

из среднего значения квадрата скорости, то есть

Нахождении

(Vкв) c помощью функции распределения по формуле (7) дает значение:

рисунке изображены три кривые, которые можно тракто- вать, либо как

соответствующие разным m (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т при одинаковых m. Чем больше температура и меньше масса молекул, тем выше их скорости.
Площадь под любой из кривых равна 1.Принцип нормировки

закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только

для газа в равновесной системе при условии, что на молекулы не действуют внешние силы. Закон статистический и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

очень важный закон – распределение молекул по высоте в поле

земного тяготения.
Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоёв газа.

Пусть P – давление на высоте h, а P + dP – на высоте
С увеличением высоты давление уменьшается (на рис. показана алгебраическая сумма )

в слое dh
– плотность газа на высоте h,
масса одной

молекулы,
- концентрация молекул,

учтено, что Р
падает с ростом h

(условие т/д равновесия) и

.

- давление

Потенцируем

или

Полученные формулы называются барометрической
формулой

при

быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже

температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н2 гораздо больше чем у поверхности Земли). На рисунке изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разным μ (при одина-ковой Т), либо как отвечающие разным Т при одинаковых μ.

Земли в условиях теплового равновесия.
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

следует, что давление Р пропорционально концентрации n. Заменим P и P0 в барометрической формуле на n и n0 и получим распределение Больцмана :

где n0 и n  концентрации молекул на высоте h = 0 и h, соответственно.

что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем

легких.

– потенциальная энергия, следовательно, распределение

Больцмана характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии: – это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n0 – число молекул в единице объёма там, где .

Больцман доказал, что формула справедлива не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

в один закон Максвелла-Больцмана.
Число частиц, координаты которых лежат

в объеме , то есть в интервалах

Из них число молекул, скорости которых лежат в интервале

объеме с центром в точке (x,y,z), скорости которых находятся в

единичном интервале скоростей вблизи скорости v.