ЛЕКЦИЯ №5

математика» включает две основные темы:


Прямая на плоскости
Кривые 2-го порядка

через заданную точку

перпендикулярно
заданному вектору


2. Общее уравнение прямой

- вектор нормали

3. Уравнение прямой « в отрезках»

точку параллельно заданному вектору

- каноническое уравнение

- направляющий вектор

5. Параметрические уравнения

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

точку с заданным

угловым коэффициентом

Угловой коэффициент - это тангенс угла наклона прямой.
Угол отсчитывается от положительного направления оси OX

8. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом

уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
Решение.
Нам задано уравнение прямой

общего вида

-вектор нормали

Сравнивая с заданным уравнением, получаем координаты
вектора нормали Так как все параллельные прямые
можно охарактеризовать одним вектором нормали, то можно составить
уравнение параллельной прямой, проходящей через данную
в условии точку. За основу берем уравнение

-направляющий вектор

Найдем угловой коэффициент

. Построить прямую.

параллельно прямой
Из канонического уравнения

заданной прямой можно определить
ее направляющий вектор

Поскольку для всех параллельных прямых можно взять один и тот же направляющий вектор, то берем за основу каноническое уравнение

и подставляем в него координаты точки
и направляющего вектора

Это уравнение можно преобразовать к уравнению
общего вида и к уравнению с угловым коэффициентом

угловой коэффициент

- вектор нормали

.
В данном случае

прямая задана уравнением с известным
угловым коэффициентом y=kx+b. K=3

Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент.
Т.о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент.
Берем уравнение

Записав уравнение в виде

, определим вектор нормали

и направляющий вектор

Для построения прямой используем таблицу

что вектор
нормали известной прямой
является направляющим для
искомой прямой, поэтому

используем каноническое уравнение

Таким образом, получили общее уравнение прямой, из которого
определяем вектор нормали

Из канонического уравнения можно перейти к уравнению
с угловым коэффициентом

что направляющий вектор известной прямой является вектором нормали для искомой

прямой, поэтому
используем уравнение прямой с известной точкой и вектором нормали

Прямая задана параметрическими
уравнениями, из которых найдем
направляющий вектор

Получили общее уравнение прямой, из которого

,

Записав уравнение в виде

найдем угловой коэффициент

,

заданной прямой можно взять угловой коэффициент
Из условия перпендикулярности прямых
можно найти

угловой коэффициент перпендикулярной прямой

Теперь берем уравнение прямой с угловым коэффициентом и
подставляем координаты точки и значение углового коэффициента

Или

- общее уравнение

,

слежующие
вопросы:
Нахождение точки пересечения.
Нахождение угла между прямыми
Проверка условий параллельности и перпендикулярности

прямых

Для нахождения точки пересечения нужно решить систему,
составленную из уравнений этих прямых, например

Систему можно решить методом Крамера

Точка пересечения

угол между прямыми – это угол между векторами нормалей и

используется формула косинуса угла между векторами

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между направляющими векторами

3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то находят тангенс угла

перпендикулярности прямых
Расстояние от точки

до прямой

Для нахождения расстояния от точки до прямой нужно координаты точки
Подставить в левую часть уравнения прямой, разделить на длину
вектора нормали и полученное значение взять по абсолютной величине.

Уравнение прямой должно быть приведены к общему виду

нормали
Из уравнения второй прямой находим направляющий вектор
Тогда вектор нормали этой

прямой

Используем формулу

2. Найти расстояние от точки до прямой

Приведем сначала уравнение прямой к общему виду

или

. Теперь можно использовать формулу

есть уравнение линейное относительно переменных и
Уравнение кривой

2-го порядка

квадратичная часть

линейная часть

В дальнейшем будем рассматривать уравнения кривых,
в которых отсутствует произведение

.

К кривым 2-го порядка относятся :
окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить
тип кривой, привести само уравнение к каноническому
виду и построить кривую в системе координат.

равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности с центром в начале координат

В уравнение окружности входят квадраты переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.

!

2. Построить окружность







3. Построить окружность

и разности двух чисел
1.
2.
3.
4.
5.
6.
центр окружности,
радиус окружности

расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами , есть

величина постоянная, равная длине большой оси .

Каноническое уравнение эллипса

причем

вершины эллипса

фокусы эллипса

большая ось эллипса

малая ось эллипса

фокусное расстояние

В уравнение эллипса входят квадраты переменных,
причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты
при квадратах разные.

!

эллипса
, то большой осью будет ось
, фокусы эллипса будут

лежать на этой оси и связь
между параметрами эллипса
будет такой:

.

.

знать координаты центра и
размеры полуосей и
Полуоси
Расстояние

между фокусами

, т.е.

Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле

Для данного примера получим

.

.

уравнения на 45, так чтобы получит единицу
в правой части

уравнения

2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей

Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение
центра и размеры полуосей

- центр эллипса

- полуоси

3) Строим эллипс

построении необходимо учесть, что уравнение определяет
Только правую половинку эллипса,

так как по условию имеем

, т.е.

3.

переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты
различные. Кроме того, наличие

линейной части уравнения
означает, что центр эллипса смещен от начала координат.
Приводим уравнение к каноническому виду

Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле

1.

2.

3.

4.

5.

6.

центр

полуоси

,

,

до двух данных точек, называемых фокусами ,по абсолютной есть величина

постоянная, равная длине действительной оси .

действительная полуось

мнимая полуось

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат

В этом случае

Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением

В уравнение гиперболы входят квадраты переменных, причем знаки при квадратах разные.

!

Асимптоты гиперболы – это прямые к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности.

построениями.
1. В системе координат строим прямоугольник с размерами
на осях OX

и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот гиперболы


3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и от них
ведем ветви гиперболы к асимптотам.

Равнобочная гипербола
или
Гипербола со смещенным центром
Гипербола, приведенная к своим асимптотам
или

фокусами

в левую часть уравнения
Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки

при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной

Можно записать уравнение в виде

мнимая полуось

действительная
полуось

Оставляем только нижнюю ветвь гиперболы, так как по условию

различные) со смещенным центром (есть линейная часть)
Приведем уравнение к каноническому

виду

центр гиперболы

действительная полуось

мнимая полуось

точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
Виды парабол
Парабола

с осью симметрии OX

Парабола c осью симметрии OY

OX
Парабола c осью симметрии OY
Отличительные признаки уравнения параболы:
отсутствует квадрат одной

переменной.

!

.
Ось симметрии параболы (определяется

по той переменно, квадрат которой отсутствует в уравнении)
Направление ветвей (определяется по знаку : если в правой части канонического уравнения знак плюс, то ветви параболы идут в положительном направлении оси симметрии, если знак минус, то в отрицательном )
Параметр параболы определяется по коэффициенту при переменной, стоящей в каноническом уравнении в первой степени, и определяет «ширину» параболы. Знание параметра помогает более качественно получить начальный участок параболы.

отсутствует квадрат переменной . Поэтому осью
симметрии

параболы будет ось OX.

Вершина параболы в точке

Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX,
так как в правой части уравнения знак “плюс”.

ширина параболы

параметр параболы

квадрат
переменной x
Ветви параболы направлены влево, так как в правой

части уравнения
получился знак “минус”

параметр параболы

Так как по условию , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы

координаты вершины
. Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз.
параметр параболы

определяет параболу с осью симметрии OY.
Проведем преобразования уравнения, чтобы

привести его к каноническому виду

или

вершина параболы

параметр параболы

Ветви параболы направлены вниз