Линейное пространство

элементов E произвольной природы, для которых определены операции сложения и

называется линейным многообразием, если М включает в себя все линейные

Линейное нормированное пространство

Линейное пространство называется линейным нормированным пространством (ЛНП), если каждому элементу x, поставлено в соответствие число || x ||. Это число называется нормой элемента, и удовлетворяет следующим аксиомам (аксиомам нормы).

на отрезке t∈[a;b]. Данное множество является линейным пространством.
! Доказать

формулой.

Покажем, что выполняется для этой нормы

Теорема 1 (Неравенство Минковского).
Пусть для p≥1 и функций x(t) и y(t) существуют интегралы.

аксиома А3 доказана
Тогда существует интеграл
причём верна оценка:

!Аксиомы А1 и А2

паре элементов ( x, y ) поставлено в соответствие неотрицательное число ρ ( x, y ),

Обычно метрику вводят следующим образом:

> 0 в метрическом пространстве E называется множество

Замкнутым шаром

0 в метрическом пространстве E называется множество

ε - окрестностью

Множество X называют ограниченным, если существует шар конечного радиуса R < ∞ , который содержит в себе все элементы множества X ⊂ E .

⊂ E называется элемент a ∈ E ,

Это равносильно следующему выражению

Предельной точкой множества M ⊂ E называется элемент a ∈ E , если в любой окрестности a содержится хотя бы одна точка x ∈ M , отличная от a . То есть

Здесь выражение Sr(a)\a означает открытый шар без центра.

был предельной точкой множества M ⊂ E , необходимо и достаточно существование

сходящейся к a :

Пусть M – подмножество в ЛНП E, а M' – множество всех предельных точек M. Объединение множеств

называется замыканием множества M.

Замкнутое линейное многообразие L в ЛНП E, L ⊂ E, называется подпространством.

любая плоскость в этом пространстве будет подпространством.
Расстоянием от точки x

Здесь inf означает точную нижнюю грань (infimum).

Пример. Если в качестве ЛНП E взять трехмерное декартовое пространство, а в качестве подпространства L плоскость, то расстоянием ρ (x, L) будет перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

произвольного подмножества M ⊂ E.

Элемент u ∈ L, где L

Другими словами элементом наилучшего приближения к элементу x является тот элемент u , из подмножества L , который расположен ближе всего к элементу x.

Пример. Если в качестве ЛНП E взять трехмерное декартовое пространство, а в качестве подмножество L плоскость, то ЭНП u будет являться проекцией элемента x на плоскость L .

⊂ E называется фундаментальной, если

Здесь N множество натуральных чисел.
Для

показать, что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной, а обратное, вообще

Линейное нормированное пространство (ЛНП) называется полным, если в нём сходится всякая фундаментальная последовательность.

Полное ЛНП , называется банаховым пространством.

Пример. Простейший пример банахова пространства – множество вещественных чисел R с нормой

T] функций с нормой

Из теории рядов Фурье известно,

не является сходящейся в пространстве непрерывных функций,

Пусть X - ЛНП (не обязательно банахово), а - некоторая последовательность в X . Тогда рядом в X называется формально составленная бесконечная сумма.

в ЛНП X , если сходится последовательность

Элемент s ∈

пространствами, а элементы линейного пространства называют векторами.
Обобщим понятие

ЛП называется евклидовым, если каждой паре элементов ( x, y ) поставлено в соответствие вещественное число < x, y >, называемое скалярным произведением, удовлетворяющее следующим аксиомам:

ввести норму элемента, следующим образом.

Аксиомы нормы А1 и А2 выполняются

предварительно рассмотрим лемму.

доказать лемму. Для доказательства раскрыть неравенство.

С помощью леммы докажем выполнение

пространства E называются такие элементы x, y для которых скалярное

Ортогональной системой в E называют множество взаимно ортогональных элементов

Ортогональность элементов обозначаем x ⊥ y .

ненулевых элементов в евклидовом пространстве E , ⊂

Для линейно независимых векторов , k =1,2,…n равенство

выполняется только в одном случае, когда все коэффициенты равны нулю.

n ненулевых элементов образует базис.

Если система векторов

Пространство арифметических векторов со скалярным произведением, определенным для векторов x,

является полным пространством, т.е. гильбертовым пространством.

на отрезке t ∈ [a,b] функций со скалярным произведением и

гильбертово.

Замечание. Если требование кусочной непрерывности заменить на непрерывность функций, то полученное пространство не будет полным, а значит, не будет гильбертовым.

пространство, а L - подпространство L ⊂ H . Для

Теорема 4. Существует единственный ЭНП , который является решением задачи аппроксимации.

, пусть y∈L - ЭНП для элемента x∈H . Тогда

Следствие из теорем 4, 5. Пусть L - подпространство в H . Тогда ∀x∈H существует единственное разложение x=y+z , где y∈L - ЭНП, а z⊥L . В силу единственности элемента y элемент z=x-y также единственный.

Элемент наилучшего приближения (ЭНП) y∈L называют проекцией элемента x∈H на пространство L (вспомните пример с трехмерным декартовым пространством).

x∈H в случае конечной размерности подпространства L с заданным базисом

Алгоритм поиска коэффициентов следующий. Так как любой элемент перпендикулярен x-y , имеем

Заменяем y суммой и поучаем:

называется матрицей Грама

В силу линейной независимости элементов

нуля, эта система имеет единственное решение.

Задача поиска

! Получить самостоятельно вышеприведенную формулу.

H. Совокупность всех элементов из H , ортогональных к L

Теорема 6. Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда также является подпространством в H .

Говорят, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму подпространств и записывают это как

попарно ортогональны.

2) ∀x∈H имеет место разложение

L с ортогональным базисом n}

является ЭНП для элемента x∈H . Тогда для «вектора-ошибки» x-y , имеем

бесконечная последовательность ненулевых ортогональных векторов ⊂ H,

Можно показать, что - замкнуто, т.е. является подпространством. Так как - конечномерно, то верна теорема 7 для ЭНП

т.е. +1≥ . Поэтому

означает, по определению, сходимость ряда

причем имеет место соотношение.

Это неравенство

в гильбертовом пространстве H , если ∀x∈H можем записать разложение

Смысл

Ряд

называется рядом Фурье по ортогональной системе элементов , а числа называются коэффициентами Фурье.

полная ортогональная система в гильбертовом пространстве H . Тогда ∀x∈H

Теорема 9. Ортогональная система ⊂ H, k=1,2,…,∞ является полной в гильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда ∀x∈H неравенство Бесселя выполняется как равенство

Это равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова.

, о которых говорилось

являются функции. Приведем ряд

Пример 1. Рассмотрим тригонометрическую систему функций.

Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке t∈[a, a+T] длины T .

Лежандра - ортогональна и полна на

Имеется также дифференциальная формула для нахождения любого многочлена Лежандра

для представления сигналов часто более предпочтительно по сравнению с тригонометрическими