Линейная алгебра

Содержание

1. Линейная алгебра
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу
3. Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСледующие действия
4. Метод Гаусса решения систем линейных уравненийЗапишем расширенную
5. Метод Гаусса решения систем линейных уравненийК третьей
6. Ранг матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x
7. Ранг матрицыРангом матрицы называется наибольший порядок отличного
8. Ранг матрицыОпределитель, порядок которого равен рангу матрицы,
9. Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера - Капелли.Для
10. Исследование систем линейных уравнений
11. Исследование систем линейных уравненийсистема совместна- число неизвестныхсистема неопределенна- число свободных переменныхПусть Восстановим систему:
12. Исследование систем линейных уравненийсистема несовместна
13. Однородные системы линейных уравненийСистема линейных уравнений называется
14. Однородные системы линейных уравненийПусть:Тогда система имеет r
15. Однородные системы линейных уравненийВыберем n - r
16. Однородные системы линейных уравненийНайти фундаментальную систему решений:- число свободных переменных
17. Однородные системы линейных уравненийОбозначим:(в качестве свободных переменных обычно берут те, которые имеют 0 на главной диагонали)
18. Скачать презентанцию

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде:Если закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Линейная алгебра
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных

уравнений
Однородные системы линейных уравнений

Линейная алгебраМетод Гаусса решения систем линейных уравненийРанг матрицыИсследование систем линейных уравненийОднородные системы линейных уравнений

Слайд 2Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Рассмотрим задачу решения системы линейных

уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде:
Если

закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в записи системы и записать ее в виде матрицы, отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой.

Расширенная матрица системы

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью (m x n). Запишем систему

Слайд 3Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей

системы называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на

одно и то же число, не равное нулю

Перестановка местами двух строк

Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель.

Конечной целью элементарных преобразований является получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования стараются производить так, чтобы на главной диагонали появлялись единицы.

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСледующие действия над расширенной матрицей системы называются элементарными преобразованиями. Умножение или деление

Слайд 4Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Запишем расширенную матрицу системы
К первой

строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2)
Ко второй строке прибавим

первую строку, умноженную на (-2),
К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-3).

Из третьей строки вычтем вторую строку

Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (-5)

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийЗапишем расширенную матрицу системыК первой строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2)Ко

Слайд 5Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
К третьей строке прибавим вторую

строку, умноженную на 4
Вторую строку умножим на (-1), третью строку

разделим на 5

Восстановим систему:

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийК третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 4Вторую строку умножим на

Слайд 6Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
Выделим в

этой матрице произвольное число k строк и k столбцов. Элементы

матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют определитель k - того порядка.

Минором k-того порядка матрицы А называют определитель, полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

Ранг матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n). Выделим в этой матрице произвольное число k строк и

Слайд 7Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора

этой матрицы.
Матрица А имеет 4 минора 3 - его

порядка, например:

18 миноров 2 - го порядка, например:

12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.

Наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы равен 3, поэтому:

Ранг матрицыРангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Матрица А имеет 4 минора

Слайд 8Ранг матрицы
Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не

меняют ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному виду.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду

Ранг матрицыОпределитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. Он может быть не единственным.Можно показать, что

Слайд 9Исследование систем линейных уравнений
Теорема Кронекера - Капелли.
Для того, чтобы система

линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение ), необходимо и

достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов:

При решении систем линейных алгебраических уравнений нет необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной матриц. Их определение производится автоматически при выполнении метода исключения Гаусса.

Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера - Капелли.Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение

Слайд 10Исследование систем линейных уравнений

Слайд 11Исследование систем линейных уравнений
система совместна
- число неизвестных
система неопределенна
- число свободных

переменных
Пусть
Восстановим систему:

Исследование систем линейных уравненийсистема совместна- число неизвестныхсистема неопределенна- число свободных переменныхПусть Восстановим систему:

Слайд 12Исследование систем линейных уравнений
система несовместна

Слайд 13Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все

свободные члены ее равны нулю.
Однородная система всегда имеет решение:

Однородные системы линейных уравненийСистема линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю. Однородная система

Слайд 14Однородные системы линейных уравнений
Пусть:
Тогда система имеет r базисных переменных и

n – r свободных переменных.
Общее решение системы запишется в виде:

Однородные системы линейных уравненийПусть:Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных переменных.Общее решение системы

Слайд 15Однородные системы линейных уравнений
Выберем n - r частных решений однородной

системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из

значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0 :

Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы (ФСР).

Однородные системы линейных уравненийВыберем n - r частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом:

Слайд 16Однородные системы линейных уравнений
Найти фундаментальную систему решений:
- число свободных переменных

Слайд 17Однородные системы линейных уравнений
Обозначим:
(в качестве свободных переменных обычно берут те,

которые имеют 0 на главной диагонали)

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Линейная алгебра

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Линейная алгебра
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных

уравнений
Однородные системы линейных уравнений

Слайд 2Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Рассмотрим задачу решения системы линейных

уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде:
Если

Слайд 3Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей

системы называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на

Слайд 4Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Запишем расширенную матрицу системы
К первой

строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2)
Ко второй строке прибавим

Слайд 5Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
К третьей строке прибавим вторую

строку, умноженную на 4
Вторую строку умножим на (-1), третью строку

Слайд 6Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
Выделим в

этой матрице произвольное число k строк и k столбцов. Элементы

Слайд 7Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора

этой матрицы.
Матрица А имеет 4 минора 3 - его

Слайд 8Ранг матрицы
Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не

Слайд 9Исследование систем линейных уравнений
Теорема Кронекера - Капелли.
Для того, чтобы система

линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение ), необходимо и

Слайд 10Исследование систем линейных уравнений

Слайд 11Исследование систем линейных уравнений
система совместна
- число неизвестных
система неопределенна
- число свободных

переменных
Пусть
Восстановим систему:

Слайд 12Исследование систем линейных уравнений
система несовместна

Слайд 13Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все

свободные члены ее равны нулю.
Однородная система всегда имеет решение:

Слайд 14Однородные системы линейных уравнений
Пусть:
Тогда система имеет r базисных переменных и

n – r свободных переменных.
Общее решение системы запишется в виде:

Слайд 15Однородные системы линейных уравнений
Выберем n - r частных решений однородной

системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из

Слайд 16Однородные системы линейных уравнений
Найти фундаментальную систему решений:
- число свободных переменных

Слайд 17Однородные системы линейных уравнений
Обозначим:
(в качестве свободных переменных обычно берут те,

которые имеют 0 на главной диагонали)

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Разделы презентаций

Линейная алгебра

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Линейная алгебраМетод Гаусса решения систем линейных уравненийРанг матрицыИсследование систем линейных

уравненийОднородные системы линейных уравнений

Слайд 2Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу решения системы линейных

уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде:Если

Слайд 3Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСледующие действия над расширенной матрицей

системы называются элементарными преобразованиями. Умножение или деление элементов строк на

Слайд 4Метод Гаусса решения систем линейных уравненийЗапишем расширенную матрицу системыК первой

строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2)Ко второй строке прибавим

Слайд 5Метод Гаусса решения систем линейных уравненийК третьей строке прибавим вторую

строку, умноженную на 4Вторую строку умножим на (-1), третью строку

Слайд 6Ранг матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n). Выделим в

этой матрице произвольное число k строк и k столбцов. Элементы

Слайд 7Ранг матрицыРангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора

этой матрицы. Матрица А имеет 4 минора 3 - его

Слайд 8Ранг матрицыОпределитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Он может быть не единственным.Можно показать, что эквивалентные преобразования не

Слайд 9Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера - Капелли.Для того, чтобы система

линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение ), необходимо и

Слайд 10Исследование систем линейных уравнений

Слайд 11Исследование систем линейных уравненийсистема совместна- число неизвестныхсистема неопределенна- число свободных

переменныхПусть Восстановим систему:

Слайд 12Исследование систем линейных уравненийсистема несовместна

Слайд 13Однородные системы линейных уравненийСистема линейных уравнений называется однородной, если все

свободные члены ее равны нулю. Однородная система всегда имеет решение:

Слайд 14Однородные системы линейных уравненийПусть:Тогда система имеет r базисных переменных и

n – r свободных переменных.Общее решение системы запишется в виде:

Слайд 15Однородные системы линейных уравненийВыберем n - r частных решений однородной

системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из

Слайд 16Однородные системы линейных уравненийНайти фундаментальную систему решений:- число свободных переменных

Слайд 17Однородные системы линейных уравненийОбозначим:(в качестве свободных переменных обычно берут те,

которые имеют 0 на главной диагонали)

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1Линейная алгебра
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных

уравнений
Однородные системы линейных уравнений

Слайд 2Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Рассмотрим задачу решения системы линейных

уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде:
Если

Слайд 3Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей

системы называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на

Слайд 4Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Запишем расширенную матрицу системы
К первой

строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2)
Ко второй строке прибавим

Слайд 5Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
К третьей строке прибавим вторую

строку, умноженную на 4
Вторую строку умножим на (-1), третью строку

Слайд 6Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
Выделим в

Слайд 7Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора

этой матрицы.
Матрица А имеет 4 минора 3 - его

Слайд 8Ранг матрицы
Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не

Слайд 9Исследование систем линейных уравнений
Теорема Кронекера - Капелли.
Для того, чтобы система

Слайд 11Исследование систем линейных уравнений
система совместна
- число неизвестных
система неопределенна
- число свободных

переменных
Пусть
Восстановим систему:

Слайд 12Исследование систем линейных уравнений
система несовместна

Слайд 13Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все

свободные члены ее равны нулю.
Однородная система всегда имеет решение:

Слайд 14Однородные системы линейных уравнений
Пусть:
Тогда система имеет r базисных переменных и

n – r свободных переменных.
Общее решение системы запишется в виде:

Слайд 15Однородные системы линейных уравнений
Выберем n - r частных решений однородной

Слайд 16Однородные системы линейных уравнений
Найти фундаментальную систему решений:
- число свободных переменных

Слайд 17Однородные системы линейных уравнений
Обозначим:
(в качестве свободных переменных обычно берут те,