Логическое следствие Применение логики предикатов в математике и для анализа

предикатов называется логическим следствием формул

F1, F2 … Fn , если для всякой интерпретации, при которой формулы F1, F2 … Fn принимают значение истина, формула G также принимает значение истина.

Этот факт обозначается: F1, F2, …, Fn |=G.
Формулы F1, F2 … Fn называют посылками, а формулу G − заключением.

 i = 1, 2, …, n.
2. Если F1,

F2, …, Fn |= Gi, для i = 1, 2, …, t, и
если G1, G2, …, Gt |= H, то F1, F2, …, Fn |= H.
3. Если F1, F2, …, Fn |= G и G = H, то F1, F2, …, Fn |= H.
4. F1, F2, …, Fn |= G  F1  F2  … Fn  G является
общезначимой формулой.
5. F1, F2, …, Fn |= G,  F1, F2, …, Fn-1 |= Fn  G
(теорема дедукции).
Две формулы равносильны тогда и только тогда, когда
каждая из них является логическим следствием другой.

Все целые
числа рациональные. Следовательно, все целые

числа 
действительные.
Решение: введем обозначения: Q(x) – x – рациональное
число, R(x) – x – действительное число, Z(x)  x – целое
число. Тогда посылки рассуждения запишутся так:


По правилу силлогизма получаем: любое целое число a
является действительным, то есть заключение истинно

Никто из спотсменов не
курит. Следовательно

ни один штангист не курит.
Решение: введем обозначения: U(x) – x – штангист,
S(x) – x  спортсмен, K(x)  x – курящий человек.
Тогда посылки рассуждения запишутся так:


Снова по правилу силлогизма получаем: любой штангист
является некурящим, то есть заключение истинно:

врачи  Герои России. Следовательно, некоторые хирурги  Герои

России.
Решение. Введем обозначения предикатов: U(x) – x 
хирург, E(x) – x  врач, H(x)  x  Герой России .
Тогда посылки рассуждения запишутся так:

а заключение – формула:
Чтобы доказать, что рассуждение неверно, достаточно привести пример интерпретации формул, при которой посылки истинны, а заключение  ложно.

={a, b, c, d}  множество врачей, M3={c}  множество

героев  врачей.
При интерпретации на этих множествах посылки принимают значение 1 (истина), а заключение принимает значение 0 (ложь). Значит, определение логического следствия не выполняется, и формула не является логическим следствием формул
и

P1(x) и Q1(x), которые заданы на множестве

M и
(1) но (2)
Из (1) следует, что a  M а из (2) 
найдется bM, такой, что
Поэтому Q1(b)=1, P1(b) = 0.
Тогда что противоречит (1).
Значит, сделанное предположение неверно, и данное логическое следствие имеет место.

важное методологическое
значение, так как позволяют перейти от естественной

постановки задачи к ее математической постановке, с тем
чтобы для решения задачи использовать математические
методы ( построить математическую модель).
Пример. Записать предложение на языке логики предикатов:
Существует не более одного значения х, такого, что
выполняется P(x).
Изменим предложение, не искажая смысл:
Неверно, что есть 2 разных предмета x и y, что P(x) и P(y).

Пример 2. Существует точно один предмет x,
что P(x).
Ответ:

Пример 3. Существуют, по меньшей мере два
разных предмета x таких, что P(x).
Ответ:

перевести
предложение на язык логики предикатов:
1. Все рациональные

числа – действительные.
Решение. Определим одноместные предикаты: Q(x) – x
– рациональное число, R(x) – x – действительное число.

2. Некоторые действительные числа  рациональные.
Используя введенные ранее предикаты, получаем:

четвероногим. Все студенты – люди. Следовательно, ни один студент не

является четвероногим.