Математические модели в биологии.pptx

моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История

финансовой сфере, в бизнесе, промышленности, образовании, сфере досуга. Благодаря компьютерам

же такое МОДЕЛЬ?
Наиболее простой и общий ответ на этот вопрос:

любимой женщины. Рассмотрим объект, метод (средства) и цель моделирования.
Объектом моделирования

трубу и испытывая его в различных воздушных потоках, мы решаем

моделировать водную экосистему – речную, озерную, морскую, заселить ее некоторыми

изучают процессы, происходящие в живой системе, в этом смысле фрагмент

изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной липидной мембране.
Понятно,

и примером исключительно удачно найденной модели. Еще более удобной моделью

свойствами физического объекта. В этом ее преимущества, но в этом

применить весь арсенал науки, накопленный за тысячелетия. Недаром многие классики

динамики. Эта область математической биологии и в дальнейшем служила математическим

неготовая к размножению

популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. В дискретном виде этот

- коэффициент, аналогичный коэффициенту q в дискретной модели - константа

Имеются специальные журналы, посвященные работам в области математических моделей: Theoretical

не претендуя на физический или биологический смысл этих зависимостей. Для

от каждого нерестившегося производителя в Азовском море (используется в большой

параметров моделей по экспериментальным данным. При этом чаще всего минимизируется

‑ это нечто промежуточное между искусством и наукой, направление, появление

экологических систем – необычайно сложных образований, включающих множество биологических, геологических,

о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотели бы

стандартного или специально созданного математического обеспечения. Апробируются и отрабатываются различные

о взаимодействии отдельных элементов и подсистем;
2.        прогноз поведения при изменении

представлены на сайте www.biophys.ru/ Информационная система Российская биофизика. Биофизическое образование.
На

многих систем организма – сердца, желудочно-кишечного тракта, почек, печени, мозга,

сухопутные биогеоценозы, и имитационные модели водных систем успешно создаются начиная

Именно для этих моделей был разработан формализм представления системы в

биологическим законам. Однако нам известны не все законы. Одна из

обладают следующими специфическими чертами, которые необходимо учитывать при построении моделей.

Это важнейшее свойство живых систем определяет их способность перерабатывать неорганическое

себя потоки вещества и энергии. Биологические системы далеки от термодинамического

компьютерные грамматики позволяют получить изображения, очень напоминающие те, которые мы

2
МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫЕ
ОДНИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

которым соответствует одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Если система автономная,

не могут быть периодическими, они монотонны.







Поведение интегральных кривых на плоскости

значения переменных в системе не меняются со временем. На языке

положениях (а и б) шарик находится в равновесии, т.к. сумма

положительное , всегда можно найти такое ,

со временем затухают. Пример — шарик в ямке в вязкой

в окрестности стационарного состояния.
Метод Ляпунова приложим к широкому классу систем

. .

Отбросим члены порядка 2 и выше. Останется линейное уравнение:

решить, рассматривая график функции f(x).
По определению в стационарной точке правая

на плюс при возрастании x (рис. 2.4 б).
Проведите рассуждения, аналогичные случаю 1.

математической экологии. Логистическое уравнение было предложено Ферхюльстом в 1838 г.

х0 > К, численность со временем убывает.
В приведенных примерах в правой части

расти, совершать колебания, падать (рис. 3.1), и причины этого могут быть

законе роста народонаселения». Томас Роберт Мальтус (1766-1834) – известный английский демограф и

несколько страниц своего дневника, указывая, что поскольку ни одна популяция

роста изображен на рис. 3.2 а. На рис. 3.2 б. представлена зависимость

численность возрастает экспоненциально (как в уравнении 3.2) при больших – приближается

от времени. Ход кинетических кривых для разных начальных условий представлен

аналитическим методом Ляпунова. Введем новую переменную x, обозначающую отклонение переменной

графика функции правой части.







На рисунке 3.5 видно, что при переходе

между двумя кривыми (число рожденных минус число погибших) представляет собой

роста от численности популяции. а, б. - схема расчета кривых

(биомассы) популяции представлен линейным членом

скорости размножения как функции численности для уравнения 3.7

член, пропорциональный численности и описывающий смертность. Зависимость скорости роста популяции

от численности (б) для уравнения (3.8). Штриховкой обозначена область вырождения

биологов показали, что это всего лишь одна пара особей на

при переходе через которую популяция уже не сможет восстановиться. Модель

дискретную величину, что соответствует экспериментальным данным по переписи реальных популяций.

следующего поколения в популяции Nt+1 зависит лишь от предыдущего поколения

зависимости от крутизны графика F (Nt) в системе могут возникать различные

dN/dt на DN/Δt.
Здесь
Получим:

насекомых и Рикером (1952) для рыбных популяций:
 
(3.13)
Ход решения можно наглядно

теории дифференциальных уравнений.
Решение – (траектория) – любая последовательность значений

устойчивого равновесия:
при 0

N* = K>0 существует при любом r.
Равновесие устойчиво, если 0

поведение решения уравнения 3.13
а - двухточечный цикл, б - четырехточечный

которой численность выражена в безразмерном виде. При Nt > 1 численность принимается

впервые предложенных Лесли, (1945, 1948).
Пусть ресурсы питания не ограничены. Размножение

в момент в первой группе, во вторую. Второй процесс

β - коэффициент выживания. Вектор численностей возрастных групп в момент

выживания β, на первой строке стоят члены, характеризующие число особей,

старшего возраста (вектор столбец в правой части уравнения). Каждое животное

главному собственному числу собственный вектор отражает устойчивую структуру популяции и

регуляции численности, вызванное несколькими причинами. Развитие любой взрослой особи из

уравнение, учитывающее распределение времени запаздывания имеет вид:

(3.25)
Типичный вид весовой

том числе колебания и динамический хаос, в зависимости от значений

два аспекта, по которым детерминистическая модель не может служить точным

вероятностное описание процесса роста популяции с учетом только размножения. При

событие, а именно за время dt численность популяции может либо

динамические уравнения для случайного процесса, обычно бывает трудно разрешить в

Таким образом, при большом числе особей детерминистическое описание будет удовлетворительно

большое число популяций и в начальный момент времени t = 0 численность

время dt это число не изменилось;
2) в момент t было

гибели общее выражение для pn (t) оказывается довольно сложным, и выразить

когда ε = μ. Математическое ожидание и дисперсию находим из формул (3.34),

выражения для этой вероятности в явном виде:

(3.35)

численности имеет постоянную величину, вероятность полного вымирания все же равна

характера взаимодействий между отдельными особями, т.е. случайному изменению параметров модели.

резкими; это значит, что детерминистическая система не имеет устойчивого стационарного

в теории биологических сообществ) являются более жесткие требования к параметрам

на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование

объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных

обозримый "портрет" системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о

траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений

наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом.

соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q (x,y) = 0, в

и
dy/dx=∞ , Q(x,y)=0 – изоклина вертикальных касательных.
Построив главные изоклины и

в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость x, y (рис.4.3).









Если

точка находится в одной из особых точек системы, в которых

‑ декартовы координаты на фазовой плоскости.
Общее решение будем искать в

значения показателя λ1,2, при которых возможны ненулевые для A и

исходной системой (4.4). Введем новые координаты ξ, η по формулам:

(4.1)
Из

коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости x,y к

как семейство парабол проходит через начало координат, носит название

Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5)

так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по

x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических

начало координат (рис. 4.6) Такая особая точка носит название «седло».

равновесия. Пусть, например, λ1>0, λ2

кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом

x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ, η

φ). После подстановки получим , откуда:

(4.18)
Таким образом, на фазовой

из уравнений (4.17) на u, а второе на v и

проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи

прямоугольными декартовыми координатами σ, Δ и отметим на ней области,

четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если λ1 и

при изменении этого параметра будут меняться и величины σ, Δ.

порядка общего вида:


(5.1)
Стационарные значения переменных системы

с именами французского математика Анри Пуанкаре и русского математика и

производные не ниже первого порядка. Тогда мы можем разложить правые

корнями характеристического уравнения системы:


(5.9)
Ляпунов показал, что в случае, если оба

нуля действительные части (грубые системы), уравнение первого приближения определяют не

очень простая и служит хорошей иллюстрацией применения исследования устойчивости стационарного

:

(5.14)
Координаты особой точки:


Исследуем устойчивость этого стационарного состояния методом

менять знак, в то время как исходные переменные x, y, являющиеся

выражение отрицательно, и особая точка – фокус, при обратном соотношении

системы уравнений (5.13).
Рассмотрим плоскость параметров, где по оси абсцисс отложены

видов, которая впервые была предложена В. Вольтерра в тридцатые годы XX

x и волков-хищников y.


(5.17)
Покажем, что система уравнений (5.17) имеет на

параметры системы: εx = 4, γxy = 0,3, εy = γyx =

системы (5.18):




Корни этого уравнения чисто мнимые:

Таким образом, исследование системы показывает,

причем колебания численности хищника отстают по фазе от колебаний жертв.
Как

К. Вилли, В. Детье, 1974)
 

покажем, что на фазовой плоскости такие асимптотически устойчивые периодические движения

к малым случайным воздействиям, приводящим к изменению переменных. Кроме того,

частях членов:
Эти члены отражают тот факт, что численность популяции

численности хищников и жертв совершают во времени затухающие колебания. Система

в том и в другом случае стационарное состояние асимптотически устойчиво,

устойчивости стационарного состояния часто используется метод подбора функции, линии уровня

координат следующим условиям:
a) V(x1,…,xn) = 0 и сколь угодно близко от начала

всегда отрицательно при х ≠ 0, т.к. в скобках стоят четные степени

и y. Каждый из видов размножается в соответствии с логистическим

b ≤ 1, построив функцию Ляпунова:



Ее производная равна



и отрицательна при малых значениях

КАТАСТРОФЫ

причем иерархия этих времен такова, что они различаются на много

с использованием энергии солнечного света и неорганических веществ из почвы

различными характерными временами:





Переменные изменяются с разными характерными временами, причем

Пусть мы

z будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые

являются частицами с высокой реакционной способностью. К ним относятся каталитические

в соответствии с иерархией времен) и формулировка условий его применимости

ε=1/A, получим полную систему уравнений, тождественную исходной:

(6.2)
где ε

очень велика по сравнению со скоростью движения в окрестности кривой

параметром (условия замены дифференциальных уравнений для быстрых переменных ‑ алгебраическими).
Запишем

системы (6.5) при ε→0, если выполняются следующие условия:
а) решение
полной

быстрых переменных не используются в вырожденной системе.
Согласно теореме Тихонова, если

Михаэлисом и Ментен в 1913 г.
Схема реакции может быть представлена

комплекс ES (бимолекулярная реакция), и его концентрация увеличивается при распаде

уравнений системы (6.7) заменить алгебраическим, и модель сводится к двум

(6.6) ясно, что с течением времени весь субстрат будет превращен

из соотношений (6.10) следует, что ε

изменения субстрата в ферментативной реакции:


(6.14)
Таким образом, формула (6.14) верно отражает

считаем, что система может быть описана системой дифференциальных уравнений:


(6.15)
Здесь x

эквивалентны, это означает, что при происходит качественная перестройка системы. Тогда

с числом параметров, при независимой вариации которых эта бифуркация происходит.

(бассейнов) аттракторов.
Пример — бифуркация слияния устойчивого узла с седлом,

системы самых простых уравнений, обычно – полиномиальных, которые описывают качественные

равновесия: устойчивый узел Q и седло S (Рис. 6.5, а).

= 0 имеем x1 =x2 = 0, и собственное значение

моделей на примере модели второго порядка, содержащей переменные x и

узлов Q1, Q2 и седла Q0 между ними (в рождении

Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «рождение двух узлов из седла». а – фазовый портрет в незаштрихованной области (рис. 6.8 а); б – фазовый портрет на границе l1; в – фазовый портрет на границе l2 ; в – фазовый портрет в заштрихованной области представлен двумя устойчивыми узлами и седлом между ними.

Рис. 6.8. Бифуркация трехкратного равновесия (катастрофа – сборка).
а − бифуркационная диаграмма, б – фазопараметрическая диаграмма

минимум двух параметров. Модельной системой для нее служит уравнение:

(6.19)
Система имеет

бифуркациям седло-узел, на которых два из состояний равновесия сливаются и

вблизи прежнего стационарного состояния. Cборка локализуема, как и катастрофа «бабочка»

в другой. Приведем простые примеры переключения процессов в живых системах:
·       

одинаковыми видами.

x1=x2=0 – неустойчивый узел;
2. – седло;
3. –

x=y=0 – седло. Два других стационарных состояния – устойчивые фокусы.

Здесь a,c – устойчивые стационарные состояния, b – седло.












Рис. 7.3.

вещества x1, так что система «перепрыгнет» через сепаратрису, например в

добавления в систему вещества x в количестве, достаточном для переключения

При таком способе переключения непосредственному воздействию подвергаются не переменные, а

Стрелками обозначено направление фазовых траекторий.
 
 


Рис. 7.5. Параметрическое переключение триггера.

а, в результате параметрического переключения окажется в области притяжения единственного

“выбирает” (в зависимости от параметров и начальных условий) стационарный режим

эволюции:
1) Системы: где новые элементы не появляются, а старые не

химической эволюции и видов в биологической эволюции, а также образование

несколько вопросов. Вот основные из них:
·        Как возникли комплексы белка

генетического кода.
1. Образование первичного бульона.
2. Образование белково-нуклеотидных комплексов, способных к авторепродукции.
3. Образование единого

имеет вид:

(7.7)


Характеристическое уравнение:


или


Выражения для

видов в отсутствие ограничений роста. а (начало координат) – неустойчивый узел,

равноправных видов, где симметричное состояние сосуществования является неустойчивым. Вот один

неограниченный рост биомассы с течением времени. Этот недостаток может быть

на образование единицы биомассы.
Уравнения для концентраций объектов типа x и

более быстрые, чем процессы репродукции. В этом случае может быть

и кривая ;
Изоклины горизонтальных касательных:
y=0 (ось абсцисс) и

двух равноправных видов когда субстрат поступает в систему с постоянной

предложенную Жакобом и Моно в 1964 г. и математически разработанную

системы вторая заблокирована, и наоборот. Простейшая система уравнений, описывающая такой

системы (7.19) показало, что при m = 0 фазовый портрет имеет одну

m = 1. система имеет единственное устойчивое стационарное состояние (а).

триггерные модели могут описывать процессы отбора и дифференцировки. Подобные механизмы

колебаний может быть связан с периодическими изменениями условий жизни на

слева – шкала частот

типов стационарного поведения системы. Если колебания в системе имеют постоянные

(аттрактор), называемое предельным циклом.
Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на

всякой замкнутой траектории соответствует бесконечное множество периодических изменений, отличающихся друг

уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде:



Значениям постоянной интегрирования

плоскости, содержащая этот предельный цикл, − окрестность ε, что все

все траектории с одной стороны (например, изнутри) приближаются к ним,

этих уравнений − функции


в ряды по степеням ξ и η

поскольку a, b, c, d суть функции от ϕ, ψ

циклу, T — период решения.
Таким образом, устойчивость предельного цикла (и

не выходят, и в которой нет положений равновесия (особых точек).

все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее,

систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу,

системе типа (8.1), правые части которой представлены нелинейными функциями.
На бифуркационной

с>0 возникают автоколебания, амплитуда которых растет с увеличением с.

рождения (исчезновения) предельного цикла. Бифуркация впервые была исследована А.А. Андроновым для

жестком возбуждении, является система:



(8.4)
Приравняв правую часть первого уравнения нулю, получим

решение − неустойчивый предельный цикл.
Рассмотрим, что произойдет, если двигаться по

c > –1 существует также устойчивый предельный цикл, но система не покидает

возникают устойчивые автоколебания конечной амплитуды и частоты. Для промежуточных значений

тримолекулярная модель «Брюсселятор», предложенная в Брюсселе Пригожиным и Лефевром (1965).

бимолекулярные процессы, выражения для скорости ряда биохимических реакций в определенных

X, Y — промежуточные вещества.
Пусть конечные продукты С и R

переменные, характеризующие отклонения от особой точки:

Линеаризованная система имеет вид:


Характеристическое уравнение


или
λ2 + (A2 + 1 - B)λ + A2 = 0
имеет

характеристического уравнения отрицательны.
Из выражения (8.7) видно, что при B 

процесс в живой системе, была модель темновых процессов фотосинтеза, предложенная

то есть скорость выделения кислорода и поглощения СО2 изменяется периодически

означает число атомов углевода в молекуле).
Все трехуглеродные сахара имеют

соединения двух легких с3. Их убыль, так же как и

сахаров. В положительном квадранте имеется одно состояние равновесия с координатами

В процессе гликолиза осуществляется распад глюкозы и других сахаров, при

шестиуглеродного сахара образуются две молекулы АТФ. Основную роль в генерации наблюдаемых колебаний концентраций компонентов реакции: фруктозо-6-фосфата, фруктозо-1,6-фосфата и восстановленного НАД (никотинаминадениндинуклеотид) играет ключевой фермент гликолитического пути − фосфофруктокиназа (ФФК). Упрощенная схема реакций представлена на рис. 8.13:

ключевой реакции, ФДФ ‑ продукт этой реакции, который является субстратом

:


(8.10)
где


Кинетика изменений переменных и фазовые портреты системы (8.10) при

фруктозодифосфата (у) (справа) и фазовый портрет системы (слева) при разных

Интересно, что колебательные реакции в системе гликолиза были сначала предсказаны на математической модели (Higgins, 1964), и лишь после этого зарегистрированы экспериментально с помощью метода дифференциальной спектрофотометрии в лаборатории Б. Чанса (1966).
 

внутриклеточной концентрации кальция, период которых может варьировать от 0,5 до

в цитозоле, S1‑ концентрация кальция в гормонально чувствительном пуле.
Выражения для

и делится на две. В организме млекопитающего для поддержания жизни

Циклины, которые синтезируются и деградируют при каждом новом цикле деления,

и Start‑киназы (Cdc28-Cln3) (A) и инактивируется другим веществом (Е). Циклин

клеточный цикл с целью оптимизации параметров рентгено‑ радио‑ или хемотерапии

Вольтерра, разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные

поступление с течением времени жестко регламентировано.
2. Особи каждого вида отмирают

кинетикой. В уравнениях популяционной динамики, как и в уравнениях химической

росту популяций в неограниченных условиях, соответствуют автокаталитическим членам химических реакций.

механизмам. Разнообразие здесь огромно: различные трофические взаимодействия, химические взаимодействия, существующие

из системы (9.1)
 
Рассмотрим основные типы взаимодействий

имеют вид:


(9.2)
Стационарные решения системы:
(1).
Начало координат, при любых параметрах системы

и устойчивый узел при a1

межпопуляционного взаимодействия меньше произведения коэффициентов внутри популяционного взаимодействия.
Действительно, пусть естественные

конкуренции. Приравняем нулю правые части уравнений системы (9.2):
x1 (a1 –c1x1 – b12x2) = 0          (dx1/dt = 0),
x2 (a2 –b21x1 – c2 x2) = 0          (dx2/dt = 0),
При этом

Рис. 9.1 а соответствует выживанию вида x1, рис. 9.1 б – выживанию

Рис. 9.1. Расположение главных изоклин на фазовом портрете вольтерровской системы конкуренции двух видов (9.2) при разном соотношении параметров. Пояснения в тексте.
 

Обычно выбирают два близкородственных вида и выращивают их вместе и

монокультуре Asterionella Formosa выходит на постоянный уровень плотности и поддерживает

из конкурирующих видов и позволившие ему сформулировать «закон конкурентного исключения».

Рис. 9.3. а - Кривые роста популяций двух видов Parametium в одновидовых культурах. Черные кружки – P Aurelia, белые кружки – P. Caudatum
б - Кривые роста P Aurelia и P. Caudatum в смешанной культуре.
По Gause, 1934

что сосуществование двух видов возможно лишь в случае, если их

принимает вид:

(9.7)

Здесь, в отличие от (9.2) знаки b12 и b21

жертвы (9.10), только хищника (9.9) (если у него имеются и

хищник-жертва (9.7) при различных соотношениях параметров. Стрелками указано направление фазовых

– прямые
x2 = ­– c1х1/b12 + a2/b12,   х1 = 0.
Стационарные точки лежат на пересечении изоклин вертикальных и

устойчивое положение равновесия, в котoром популяция жертв полностью вымерла ()

модели (9.7) можно разработать стохастическую модель, но для нее нельзя

рано или поздно приводит к вымиранию одного из видов.
В

Из: Gause G.F. The struggle for existence. Baltimore, 1934

большое разнообразие типов поведения таких систем, незатухающих колебаний численности в

взаимодействие видов, правые части уравнений которых представляли собой функции численностей

другом, т.е. коэффициент размножения хищников k2 и число жертв L,

видов при разных соотношениях параметров. Пояснения в тексте.

y=0.
Начало координат при любых значениях параметров представляет собой седло

или узел (рис.9.6 г), устойчивость которых зависит от знака величины

ниже, использовалась для решения практической задачи борьбы с вредными насекомыми

– предельный цикл,
штрих-пунктир – изоклины вертикальных и горизонтальных касательных

ее биологическим окружением, разумеется, не может быть получено без учета

и у. Такой способ отвечает методам борьбы типа однократного уничтожения

хищник-жертва.


(9.17)


Система (9.17) является обобщением простейшей модели хищник-жертва Вольтерра (5.17) с

с помощью замены переменных:
x→(A/D)x; y→(A/D)/y;
t→(1/A)t; γ=c/A;
α=PD/A; ε=E/D; μ=M/B
В новых

области с различным типом динамического поведения, т.е. построить параметрический, или

малых ε

(рис.9.9). В системе возможны:
1) одно устойчивое равновесие (области 1 и

первого квадранта и соответствующих областям 1 ‑ 10 параметрического портрета рис. 9.8

 
Рис.9.10. Фазовый портрет системы 9.18 для параметрической области 6. Область притяжения В2 заштрихована

образуют 7 различных типов бифуркаций.
Их изучение позволяет выявить возможные

к бифуркационным границам.
Действительно, биологам хорошо известно свойство “буферности”, или

об опасности такого перехода для экосистемы.
Приведем некоторые общие критерии,

видов. Сделаем некоторые выводы. При моделировании биоценоза из двух видов

крови пациента во время t. Тогда общая сумма ядовитого вещества

концентрацию ядовитого вещества в жидкости во время t.
Временным изменением концентрации

равна:

(2.5)
для

и T временное развитие параметра

= 13600 [мл].
Тогда получаем:
 
График изменения концентрации

= 2880 минут.
В работе для диаметра отверстия

первом случае для графика дана формула:
(2.11)
и определена таблица 3:
Таблица 3

(2.14) на промежутке

. Например, для

:

Лекарства могут быть введены в виде инъекций, вводимых внутримышечно или

…

в поджелудочной железе, и поэтому нужно позаботиться о процессе, в

, две постоянные состояния величин,