Математические модели в науке

оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее

высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.

значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (

от латинского “оптимум” – наилучший). Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений: выбор

новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В задачах второго рода качественная сторона дела остается неизменной, но меняются количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных.

либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию,

выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результата рассчитывать, он приступает к решению задачи. Иногда описанный процесс называют “уяснением задачи”, фактически же это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естественна.

человека или какого – либо сообщества людей. Разнообразие информационных аспектов

в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.

то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению).

Нередко для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.

в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель

начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал составляющей физического знания, называемого “равномерное прямолинейное движение”. Теперь при необходимости решить какую – либо задачу, связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других – пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса станут исходными данными.

вырабатывает и особые, отличные от естествознания приемы исследования - математический

эксперимент, математическая гипотеза, математическое моделирование. Их специфика состоит в том, ч о вместо операций с веществом и энергией они добывают результат путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, интерпретируя затем полученные числовые выражения в терминах содержательного значения.

опыт): натурный, мысленный и математический.

в контролируемых и управляемых условиях, обычно специально созданных.

процессами, но взятыми не в натуре, а на уровне образного

прочтения физической ситуации и в значительной мере, как считает Р. Харре, опираясь на интуицию64. Так, Г. Галилей, рассуждая о возможности физических изменений систем, движущихся относительно других систем, провел мысленный эксперимент. "Наполнив" каюту корабля бабочками, мухами и т.п., стал "наблюдать" их поведение с целью определить разницу в состояниях, когда корабль плывет и когда он находится в покое.

природы, а с их количественными описаниями, позволяет избежать материальных затрат

на сооружение установок и лабораторий, ибо, как заметил отечественный геометр А. Яглом, единственной лабораторией математика является его интеллект.

бассейн «Дельфин» буквально преобразился: просторные раздевалки и душевые сверкают новеньким

кафелем, захватывает дух от вида замысловатой горки и пятиметровой вышки, манит голубая гладь водных до­рожек. Но самое главное, строители переделали систему во­доснабжения бассейна. Раньше бассейн наполнялся водой из одной трубы. На это уходило 30 часов. Теперь строители под­вели еще одну трубу, которая наполняет бассейн за 20 часов. Представляете, как мало времени теперь потребуется для на­полнения бассейна, если включить обе эти трубы!

условие задачи можно сформулировать так:
Через первую трубу бассейн наполняется за

30 часов, че­рез вторую трубу — за 20 часов. За сколько часов бассейн на­полнится через обе трубы?
Попробуем решить задачу в общем виде, обозначив время заполнения бассейна через первую и вторую трубы А и В соответственно. Примем за 1 весь объем бассейна, искомое время обозначим через t.

то 1/A - часть бассейна, наполняемая первой трубой за

1 час; 1/B -часть бассейна, наполняемая второй тру­бой за 1 час.
Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/A + 1/B .
Можем записать:


(1)

Мы получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб.

труб.
Преобразуем выражение:


Формула (1) примет вид:

(2)

Теперь искомое время может быть вычислено по формуле:



Несложно подсчитать, что при исходных данных А = 30 и В = 20 искомое время равно 12 часам.

от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В

в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч.
Составим математическую модель, описывающую по­ложение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.
За t часов мотоциклист проедет 50* t км и будет находиться от А на расстоянии 50* t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой:
s = 50*t + 20 , где t > 0.

7.5 м. каждая, для изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект

состоит из:
1 детали длиной 3 м.
2-х деталей длиной 2 м.
1 детали длиной 1.5 м
Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?
Решение.
Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц EXCEL

ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество досок по одной. В

ячейках F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.

G11 - ABS(2*F11-G11)
G12 - ABS(G11-2*H11)
G13 - ABS(F11-H11)
Входим

во встроенную функцию EXCEL Поиск Решения
Устанавливаем Целевую ячейку E11
Ставим ограничения:
E3:E10=>0
E3:E10= ЦЕЛЫЕ
G12<=1
G13<=1
G14<=1

127 комплектов не хватает одной двухметровой детали.
То есть максимальное

число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов.
Ответ: максимальное число комплектов – 126

можете сделать вывод на осно­вании полученных моделей?
а) Первая бригада может

выполнить задание за А дней, а вторая — за В дней. За сколько дней обе бригады выполнят задание, работая вместе?
б) Два велосипедиста одновременно направились на­встречу друг другу из двух сел. Первый мог бы про­ехать расстояние между селами за А минут, второй — за В минут. Через сколько минут они встретятся?
в) Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 35 км. Остановки автобуса расположены в точках В, С, D, Е. Известно, что АС = 12 км, BD = 11 км, СЕ = 12 км, DF = 16 км. Найдите расстояния: АВ, ВС, CD, DE и EF.