Механические колебания

поверхности находится тело массы m.
С помощью идеальной упругой пружины

ускорения на ось OX:
Получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка

дифференциального уравнения можно записать как
Это же решение можно записать в

определяемые из начальных условий.
Решение можно также записать в виде:
Обе формы

Пружинный маятник совершает гармонические колебания, а величина ω имеет смысл циклической частоты гармонических колебаний, которая связана с периодом соотношением

Решение в действительной форме.

в котором изменение наблюдаемой величины происходит по гармоническому закону, т.е.

Величина A в уравнении гармонических колебаний определяет модуль наибольшего возможного значения изменяющейся физической величины и называется амплитудой колебаний.

Выражение в скобках в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ0 определяет значение изменяющейся величины в текущий момент времени t и называется фазой колебаний.

на примере колебаний пружинного маятника.
Пусть в начальный момент времени

Освободим пружину. Груз начнет движение к положению равновесия и через некоторое время достигнет его. Скорость груза при этом станет максимальной. Теперь
x = 0, φ= arccos(0) = π/2.

и груз остановится.
x = -A,
φ = arccos(-x/A) =

После этого пружина начнет распрямляться и груз снова достигнет положения равновесия, но теперь его скорость направлена на рисунке влево. В этом случае φ = 3π/2.

периоды колебаний, максимальные скорости движения, амплитуда колебаний и т. д.

Но в любом случае, если фаза колебаний φ = π/2, маятник проходит положение равновесия, причем его скорость направлена в сторону убывания координаты. Если же φ = π, то маятник достиг положения максимального смещения, причем он сместился в сторону, противоположную первоначальному смещению.

Анализ фаз колебаний позволяет сравнивать протекание совершенно разнородных колебательных процессов и выявлять в них подобные элементы.

OX скорости и ускорения груза.
Выражение в скобках (ωt + φ0)

Груз совершает гармонические колебания, период которых

отсутствует, поэтому, согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия

Кинетическая энергия

груз был смещен из положения равновесия на максимальное расстояние вправо.

В момент времени t = 0 скорость груза равна нулю и, следовательно, его кинетическая энергия тоже равна нулю. Поэтому полная механическая энергия груза в этот момент времени равна его потенциальной энергии

груза. Для этого используем формулу из тригонометрии:
Таким образом, потенциальная энергия

максимальной величине потенциальной энергии W0, а также полной механической энергии

Таким образом, кинетическая энергия груза совершает гармонические колебания с частотой
Ω = 2ω.

Максимальное значение кинетической энергии груза

поэтому в любой момент времени сумма кинетической и потенциальной энергии

Полная механическая энергия данной системы сохраняется.

кинетическая энергия.
В любом из четырёх рассмотренных положений груза сумма

в котором потенциальная энергия системы достигает минимума. Пусть возможно движение

При смещении тела из положения равновесия потенциальная энергия тела увеличивается.

Возникает сила, действующая на тело:

dx > 0, dW > 0, следовательно, Fx < 0.

Сила направлена к положению равновесия.

Чтобы эти колебания были гармоническими, проекция «возвращающей» силы на ось

Такая зависимость силы от смещения возможна, если потенциальная энергия тела зависит от координаты как W(x) = Ax2 , где A – произвольный постоянный коэффициент.

В этом случае действительно возникает «возвращающая» сила, пропорциональная смещению из положения равновесия.

потенциальной энергии от координаты можно приближенно представить в виде полинома
В

Если величина смещения из положения равновесия мала, то x2 << x, а остальные слагаемые, содержащие еще более высокие степени x еще меньше, поэтому приближенно выражение для силы можно записать как

колебаний, так как действует одинаково во всех точках оси OX.

При выполнении условия малости смещения тела из положения устойчивого равновесия «возвращающая» сила пропорциональна смещению, и колебания можно считать гармоническими.

Силы, направленные к положению равновесия, величина которых прямо пропорциональна смещению тела из положения равновесия называют квазиупругими.

Если в системе действуют квазиупругие силы (независимо от природы этих сил), то в ней возможны гармонические колебания.