Методическая разработка Савченко Е.М. МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори,

гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
Наибольшее и наименьшее
значение

функции.

Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

Сложная функция

функция – функция от функции.

Сложная функция

представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная.

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на сложные функции с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами:

В этой записи я «сэкономила» независимый аргумент «х».

сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти

по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите формулу функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Логарифмическая функция
Функция промежуточного аргумента

– тригонометрическая функция sinx

Степенная функция

Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция

Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 6ex

+ 3 на отрезке [1; 2]

1.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

1) y(1) = e2 – 6e + 3;

y(2) = e4– 6e2+ 3

2) y / =

Найдем значение функции в критической точке.

2ex(ex – 3) = 0

ex – 3 = 0

x = ln3

ln

e =

x

(e2x)/ =

e2x

(ex)/ = ex

= 2e2x

(kx)/ = k

– 6ex

+ 0

2e2x

= 2ex(ex – 3)

(С)/ = 0

1

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной

функции.

max

Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной.
Сложная

функция представлена в виде цепочки простых функций.
Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция

g(x) = ax2 +bx + c

Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение.

А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение.

Рассмотрим примеры.

квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наибольшее

значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

= -2

Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его:

точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной

сложной функции.

min

Наименьшее значение функция примет в точке минимума.

квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее

значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 – 6х + 13 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

Итак, наименьшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = 3. Вычислим его:

= 3

критические точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления

производной сложной функции.

min

Наименьшее значение функция примет в точке минимума.

с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит,

наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 + 2х + 5 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его:

= – 1

2 способ

критические точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления

производной сложной функции.

max

Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

функция с основанием 3>1 монотонно возрастает на всей области определения.

Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 6х – 7 будет иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И набольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

Итак, наибольшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 3. Вычислим его:

= – 3

с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения.

Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция 4 – 2х – х2 будет иметь наибольшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1<0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

= -1

1

с основанием 3 является монотонно возрастающей на всей области определения.

Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 – 6х + 10 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1>0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

= 3

0