ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

для вузов/ А.В. Маслов, А.В. Гордеев, Ю.Г. Батраков: – М.:

Колос, 2006. – 598 с.
Маслов А.В. Геодезические работы при землеустройстве: учеб. пособие для вузов / А.В. Маслов, А.Г. Юнусов, Г.И. Горохов − 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1990. – 215 с. .
Неумывакин Ю.К. Геодезическое обеспечение землеустроительных и кадастровых работ: справ. пособие/ Ю.К.Неумывакин, М.И. Перский: – М.: «Картгеоцентр» - «Геодезиздат», 1996. – 344 с.
Геодезия: учеб.-метод. комплекс / БГСХА; сост. С.И. Помелов, Д.А. Чиж. – Горки, 2006. – 256 с.
Практикум по геодезии / Под ред.Бакановой В.В. – М.: Недра, 1989 .

классификация и свойства.
Понятие о законах распределения ошибок.
Числовые характеристики точности

измерений.

связаны с различными методами измерений длин линий, углов, превышений, площадей

и пр. Любые измерения, как бы тщательно они не выполнялись, сопровождаются неизбежными ошибками (погрешностями) поэтому измеренные значения величин будут отклоняться от истинных.
На практике измерения выполняют так, чтобы получить результаты с некоторой заданной точностью. Для обоснования необходимой и достаточной точности измерений надо знать причины возникновения ошибок измерений и их свойства. Эти вопросы рассматриваются в теории ошибок измерений, которая в свою очередь основывается на теории вероятностей и математической статистики.

и распределения ошибок измерений и вычислений.
2. Оценка точности результатов измерений

и их функций.
З. Отыскание наиболее надёжного значения определяемой величины и характеристики точности.
4. Установление допусков, ограничивающих использование результатов измерений в заданных пределах точности, т. е. критериев указывающих на наличие грубых ошибок.

на непосредственные (прямые), посредственные (косвенные), равноточные, неравноточные, необходимые, дополнительные (избыточные),

зависимые и независимые.
Под измерением данной физической величины понимается процесс сравнения ее с другой физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.
Полученное именованное число называется результатом измерения.

которых измеряемая величина непосредственно сравнивается с единицей меры.
Например, измерения

линий лентой, углов транспортиром и т.д.
Посредственными или косвенными называются измерения, когда искомая величина находится путем измерения других величин.
Например, определение неприступных расстояний.

и тем же прибором (или различными приборами одного класса точности),

одним и тем же или равноценны-ми методами, одинаковым числом приемов и в одинаковых условиях.
Пример: измерения углов теодолитами одинаковой точности.
Если указанные условия не соблюдаются, то результаты измерений будут неравноточ-ными. Например, измерение углов теодо-литами разной точности или одним теодо-литом, но разным числом приемов.

получить искомую величину только один раз.

Если одна величина измерена n-раз, то одно измерение будет необходимым, а остальные n–1 - избыточными.
Например, для определения всех сторон и углов в треугольнике необходимо знать не менее трех его элементов, в т.ч. хотя бы одну сторону. Если измерены все углы и стороны, то три величины будут избыточными.
Избыточные измерения нужны для контроля и повышения точности определения искомых величин, а также оценки точности искомых величин.

источники ошибок.
Например, высоты точек А и В,

полученные нивелированием от репера R, будут зависимы, т.к. ошибки превышений в звене RA будут для них общими (рис.1).
Если проложить самостоятельные ходы до точек А и В, то их высоты будут независимыми (рис.2).

Рис.1

Рис.2

Ошибкой результата измерения называется разность между результатом измерения и точным

(истинным) значением измеряемой величины, т.е.
 
∆= l–x, (1)
 
где ∆ – ошибка измерения (иcтинная ошибка);
l – результат измерения;
x – точное значение величины.

являются неточности в изготовлении и юстировке приборов, влияние внешних условий,

неточности выполнения операций наблюдателем, изменения самого объекта измерения и несовершенство метода измерений.
В соответствии с источниками возникновения различают ошибки:
1) приборов;
2) внешние;
3) личные;
4) объекта;
5) метода измерений.
Приведенная классификация ошибок по источникам возникновения имеет большое значение при изучении приборов и методов измерений.

значение имеет классификация ошибок по закономерностям их появления. По характеру

действия на конечный результат ошибки делятся на грубые, систематические и случайные.
Грубые ошибки (промахи) вызываются невнима-тельностью наблюдателя или неисправностью прибора. Они превосходят по абсолютной величине некоторый предел, установленный для данных условий измерений.
Измерения, содержащие грубые ошибки, бракуются и заменяются новыми. Для выявления грубых ошибок производятся избыточные измерения (линии измеряют дважды, в треугольнике измеряют все три угла и т. п.).

ошибки при измерении одной и той же величины несколько раз,

всякий раз появляются с одним знаком и одинаковые по величине. Например, ошибки за счет неточного центрирования теодолита при измерении углов несколькими приемами будут одинаковыми в каждом приеме.
Переменные систематические ошибки меняются от приема к приему, следуя определённому закону. Например, ошибки в направлениях, обусловленные эксцентриситетом алидады, или ошибками нанесения штрихов лимба теодолита.
Односторонне действующие систематические ошибки изменяются случайным образом, но сохраняют знак. Например, ошибка в длине линии из-за отклонения мерной ленты от створа.

зависимостью с какими-либо факторами. Ни величину, ни знак случайной ошибки

заранее предсказать нельзя. В последовательности появления ошибок тоже нет никакой закономерности. Однако, если рассматривать их в большом количестве, то выявляются определенные статистические закономерности.

величине ошибки не превосходят некоторого предела.
2. Положительные и отрицательные

ошибки, равные по абсолютной величине, имеют равные вероятности, т.е. встречаются одинаково часто.
З. Чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность появления.
4. Среднее арифметическое из значений случайных ошибок при неограниченном возрастании числа измерений одной и той же величины имеет пределом нуль, т. е. математическое ожидание ошибки равно нулю
  .

проявлением закона их распределения.
В общем случае закон распределения ошибок

отражает связь между размером ошибки и вероятностью ее появления.
 
PΔ= f(Δ)dΔ, (2)
 
где Р∆ – вероятность появления ошибки в интервале (∆, ∆+d∆);
∆ – случайная ошибка;
f(∆) – плотность распределения ошибок.

Плотность нормального распределения выражается формулой
 

(3)
 
где σ – среднее квадратическое отклонение случайной ошибки.

или кривой Гаусса (рис.3).
 












Рис. 3. Кривая нормального распределения.
 

Эта кривая имеет симметричную колоколообразную форму. Заштрихованная площадь представляет собой вероятность появления ошибки в интервале от ∆ до ∆+d∆.

примеру, ошибки округления. Плотность распределения их выражается формулой:

 

(4)
 
где α – наибольшее значение ошибки.

Математическим ожиданием

дискретной случайной величины х называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности р
 
. (5)

распределения f(x) матема-тическое ожидание определяется по формуле:

. (6)

. (7)

квадратическим отклонением
 

. (8)

отмечалось, математическое ожидание равно нулю

=0. Поэтому
 
, (9)
 
или
(10)
 
при n стремящемуся к бесконечности.

теоретической характеристики точности измерений обычно пользуются средним квадратическим отклонением σ.

Поскольку величина σ не известна, практически пользуются ее приближенным значением – средней квадратической ошибкой (СКО), определяемой по формуле:

, (11)
 

где ∆1, ∆2, ..., ∆n – истинные ошибки измерений.

m ≈ σ. (12)
 При ограниченном числе измерений величина m будет характеризовать величину σ с некоторой ошибкой. Для оценки точности определения самой средней квадратической ошибки существует формула:
 
(13)

 

∆пр= τm, (14)
 
где τ – коэффициент, значение которого прини-мают таким, чтобы была мала вероятность появления ошибки больше вероятной.

2.5, или 2.
В дальнейшем при

решении задач по оценке точности измерений будем пользоваться формулой
  ∆пр= 3m.

Для оценки точности иногда пользуются средней ошибкой v и вероятной ошибкой r. Средняя ошибка вычисляется по формуле
 
(15)

ошибкой m примерным соотношением
 

(16)
 

Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда будет вероятной. Со средней квадратической ошибкой она связана соотношением
 
(17)
 
Ошибка, выраженная в единицах измерения, называется абсолютной. Отношение ее к измеренной величине называется относительной ошибкой.