Определение многогранного угла

частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S

Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные

Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;

б) октаэдр;

в) икосаэдр.

образуют только: а) трехгранные и четырехгранные углы; б) трехгранные и

Ответ: а) четырехугольная пирамида, треугольная бипирамида;

б) пятиугольная пирамида;

в) пятиугольная бипирамида.

сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Докажем, что для трехгранного

есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB   ASC

Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно,  DSC <  BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство  ASС <  ASB +  BSC.

Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD.

пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Докажем, что для

является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней

Аналогично, биссектральная плоскость SBE двугранного угла SB является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SBC.

Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла. Следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC.

перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре

Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы.
Теорема. Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.

BSC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от

Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех ребер трехгранного угла. Следовательно, ее будет содержать плоскость, проходящая через биссектрису угла ASB и перпендикулярная его плоскости.

Аналогично, плоскость, проходящая через биссектрису SE угла ASC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SA и SC трехгранного угла SABC.

пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Докажем, что для

SA = SB = CS.
Биссектрисы SD, SE, SF плоских углов

Пусть O – точка пересечения медиан. Тогда прямая SO будет линией пересечения рассматриваемых плоскостей.

или их продолжения пересекаются в одной точке.
Докажем, что для трехгранного

пересечения плоскостей граней трехгранного угла с плоскостями, проходящими через ребра

Выберем какую-нибудь точку C на ребре с. Опустим из нее перпендикуляры CD и CE на прямые d и e соответственно. Обозначим A и B точки пересечения прямых CD и CE с прямыми SB и SA соответственно.

Прямая d является ортогональной проекцией прямой AD на плоскость BSC. Так как BC перпендикулярна прямой d, то она перпендикулярна и прямой AD. Аналогично, прямая AC перпендикулярна прямой BE.

Пусть O – точка пересечения прямых AD и BE. Прямая BC перпендикулярна плоскости SAD, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Аналогично, Прямая AC перпендикулярна плоскости SBE, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Таким образом, прямая SO перпендикулярна прямым BC и AC, следовательно, перпендикулярна плоскости ABC, значит, перпендикулярна и прямой AB.

С другой стороны, прямая CO перпендикулярна прямой AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна плоскости SOC. Плоскость SAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SOC, следовательно, сама перпендикулярна этой плоскости. Значит, все три рассматриваемые плоскости пересекаются по прямой SO.

для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место

Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу неравенства треугольника, имеет место неравенство   BAС <  BAS +   CAS.

фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком

Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°,

Ответ: а) Нет;

б) нет;

в) да.

углами: а) 56о, 98о, 139о и 72о; б) 32о, 49о,

Ответ: а) Нет;

б) да;

в) нет;

г) да.

В каких границах находится третий плоский угол?
Ответ: 10о < 

Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°.
Ответ:

двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
Ответ: 60о.

На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB,

Ответ: 90о.

из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см,