Основные методы интегрирования

интегрирования по частям.
Метод замены переменной (или метод подстановки)
Этот метод основан

на следующей теореме:
Теорема. Если F(x)- первообразная функции f(x), а - дифференцируемая функция, то функция
также имеет первообразную.
Доказательство. По правилу дифференцирования
сложной функции , то есть функция имеет в качестве одной из своих первообразных функцию .

, что и требовалось доказать.
Поскольку
- формула замены переменной неопределенном интеграле.
Таким образом, метод замены переменной состоит в следующем:
Пусть требуется вычислить ,причем непосредственно подобрать первообразную для функции нельзя, но известно, что она существует.
Введем в место х новую переменную t, положив .
Тогда (1)
Допустим, что интеграл, стоящий в первой части равенства (1), легко находится:

переменную х заменяют некоторой функцией от переменной

t.
Это приводит к новому интегралу , более простому при удачном выборе функции .
После его вычисления в полученном результате заменяют «t» через «x».
Этим самым будет найден интеграл .

Пример 1.


Положим , чтобы все корни извлекались .

очень часто удобно бывает задавать не х как функцию от

t, а, наоборот, задавать t как функцию от x и писать подстановку в виде .
Теоретически оба эти способа равнозначны.

без формального введения новой переменной (новой буквы) – применить способ

подведения под знак дифференциала.
Доказано, по определению дифференциала функции,

Переход в этом равенстве слева направо называют «подведением множителя под знак дифференциала».

один из которых есть дифференциал некоторой функции

, а другой представляет собой легко интегрируемую функцию от t:
, то целесообразно подстановку производить устно, в уме, это освобождает от излишней записи и ускоряет операцию интегрирования.
Так, в рассмотренных выше примерах это будет выглядеть таким образом.
Пример 2.


Пример 3.

, подведем под знак
дифференциала .
Замечание 1. Не следует думать, что во всех примерах на интегрирование можно выполнять подведение под знак дифференциала.
Замечание 2. Обычно под знаком “d” подводят (если целесообразно выполнять это) либо знаменатель дроби, либо основание степени, либо подкоренное выражение, либо аргумент функции и т.д.
Для этого необходимо иметь навыки.

интегралов. Часто при решении другими методами приходится в промежуточных вычислениях

прибегать замены переменной.
Однако умение выбрать удачную подстановку в большинстве случаев представляет искусство, которое приходит в результате практики.
Весьма часто встречаются интегралы, которые могут быть взяты с помощью нескольких подстановок, и искусство вычислителя состоит в том, чтобы применить ту из них, которая быстрее и проще приведет к цели.
Например, в можно применить подстановки:
1) 2) 3) .
Часты случаи, когда для нахождения интеграла приходится применять метод замены переменной не один, а несколько раз.

(*)
Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и .
Известно, что , или
, или .
Интегралы и , так как по условию функции u и v дифференцируемы, а значит и непрерывны.
Формула (*) носит название формулы интегрирования по частям.
Метод, основанный на ее применении, называется методом интегрирования по частям.

интеграла: .
Применение метода интегрирования по частям состоит

в том, что под интегральное выражение заданного интеграла стараются представить в виде произведения , где и - некоторые функции от х, причем эти функции выбирают так, чтобы был для вычисления проще, чем исходный интеграл. Для вычисления предварительно находят и (в качестве “v” берут одну какую-либо из исходных первообразных, находимых по dv,поэтому в дальнейшем при вычислении “v” постоянную С в записи будем опускать).
Замечание. Разбивая под интегральное выражение на множители , должны понимать, что должен содержать и .

и «dv», к сожалению, дать нельзя. Этому может научить большая

и вдумчивая практика.
При всем этом следует иметь в виду, чтобы был проще, чем исходный интеграл.
Пример.

применяют последовательно несколько раз.
Метод интегрирования по частям удобно применять, конечно,

далеко не всякий раз и умение пользоваться им зависит от наличия опыта.
При вычислении интегралов важно правильно установить, каким методом интегрирования следует пользоваться (так в предыдущем примере тригонометрическая подстановка быстрее приводит к цели).
Несмотря на то, что метод интегрирования по частям имеет более узкую область применения, чем метод подстановки, есть такие интегралы, которые могут быть взяты только с помощью метода интегрирования по частям.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются интегрированием по частям.

- целый (относительно х ) многочлен; а – постоянное

число.
Если под знаком интеграла стоит произведение тригонометрической или показательной функции алгебраическую, то за «u» обычно принимают алгебраическую функцию.
Пример.

не приводит к цели.
Доказано, .


Получим более сложный интеграл.
Интегралы вида:

где - многочлен.
Если под знаком интеграла стоит произведение логарифма функции или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за «u» следует принимать функции

под интегрального выражения на множители: за «u» можно принять как

, так и .
Причем вычисление таких интегралов с помощью метода интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, то есть получается уравнение относительно искомого интеграла.

.
Пусть

.




При интегрировании часто приходится последовательно применять метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Пример.

- табличный интеграл.

|в числителе выделяем производную

знаменателя|





3.

тогда, когда дискриминант

трехчлена положителен:
Теперь имеем:

всякий раз проводить аналогичные вычисления вновь.
Пример.



4.
Преобразуем числитель так,

чтобы из него можно было выделить производную квадратного трехчлена:

общего метода вычисления неопределенных интегралов, приходится на ряду с частными

методами интегрирования рассматривать также способы интегрирования некоторых частных классов функций, интегралы от которых часто встречаются на практике.
Важнейшим классом среди них является класс рациональных функций.