Основоположник теории потока однородных событий

1927 года.
Создатель теории потока однородных событий,
Совместно с А.Н. Колмогоровым –

создатель теории случайных процессов и теории массового обслуживания.

Переход из состояния в состояние происходит под воздействием пуассоновского потока

с интенсивностью ij. Пуассоновский поток обладает свойством отсутствием последействия, поэтому нам не надо будет заботиться о том, как система попала в состояние si.

Рассмотрим элементарный участок на оси времени t, примыкающий в точке времени t. Вероятность того, что система, находящаяся в состоянии si, перейдет в состояние si будет равна ijPi.

имеются интенсивности переходов между каждыми двумя состояниями ij (ij), если

две вершина не связаны, то интенсивность переходов между ними равна нулю. Обозначим pi(t) вероятность того, система в момент t находится в состоянии si (i=1…n). Пусть pi(t+t) вероятность того, что система будет в состоянии si в момент t+t. Обозначим эту вероятность A:A={S(t+t)=si}.
Событие A состоит из суммы двух возможных событий (A=B+C):
B – система уже была в состоянии si и за время t не вышла из него.
C – система была в одном из состоянии, из которых возможен переход в состояние si и за время t она перешла в состояние si.
Выясним вероятность события B

23
P3’=P223-P3 (31+ 34)
P4’=P334-P4 42
P1’=2P3 - P1
P2’=P1 + 2P4-0,5P2
P3’=0,5P2 - 6P3
P4’=4P3

- 2P4

режима:
P1’=2P3 - P1

=0
P2’=P1 + 2P4-0,5P2=0
P3’=0,5P2 - 6P3 =0
P4’=4P3 - 2P4 =0

Уравнения Колмогорова
в матричном виде

матрицы на условие нормировки, добавим столбец свободных членов, все элементы

которого равны 0 кроме ячейки напротив строки с условием нормировки. Решим систему уравнений и получаем стационарные вероятности.

года.
Один из крупнейших математиков XX века.
Один из основоположников современной теории

вероятностей.
Создатель теории случайных процессов и теории массового обслуживания.

из основателей ТМО.
1909 год – опубликована работа «Теория вероятностей и

телефонные разговоры» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations.) , получившая признание во всем мире.

В его честь названа единица измерения трафика в телекоммуникационных системах – эрланг. 1 эрланг (1 Эрл) эквивалентен разговору двух абонентов в течение 1 часа.

Формулой Эрланга пользуются до сих пор.

представляет собой процесс порождения заявок и их обработку (гибель) в

моделируемой системе.
Этот процесс может быть описан Марковской системой, где каждое состояние связано с только с двумя соседними состояниями (за исключением нулевого и n-го состояний, где n – число состояний в Марковской системе; n может быть равным ).

i - интенсивность рождения заявок;
i - интенсивность гибели (обслуживания) заявок.

Колмогорова для стационарного состояния системы рождения и гибели

обслуживания (ТМО) – это частный случай непрерывной Марковской системы. ТМО

рассматривает наиболее часто встречающийся на практике случай – процессы гибели и размножения.

СМО – это системы из трёх типов элементов:
Источник заявок (ИЗ) - порождает поток заявок.
Обслуживающее устройство (ОУ) – обслуживает заявки.
Очередь ожидания (Оч.). В очередь попадают заявки, в случае занятости ОУ облуживанием предыдущей заявки.

разным приоритетом заявок.
По времени ожидания
Без ограничения времени ожидания.
С ограничением времени

ожидания.

тип потока входящих событий и дисциплины обслуживания.
m – количество ОУ

в СМО.
K – количество мест для заявок в очереди

Типы потока заявок:
M – простейший поток.
Er – поток Эрланга порядка r.
D – детерминированное.
HR- гиперпоказательное порядка R.
G – распределение произвольного типа.

способность: А=q∙λ
среднее число находящихся в системе заявок:
среднее время пребывания заявки

в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:  Wq=Ws- 1/μ;
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди): Lq=λ(1-PN)Wq.

(M/M/1/K)

пребывания заявки в системе
Средне число заявок под обслуживанием
Время пребывания заявки

в очереди

Среднее число работающих ОУ в системе

LSIST=

(M/M/1/)

причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов

в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение

Вероятность ожидания не более, чем 2-х судов

инженерные приложения. — Учеб. пособие для втузов. — 2-е
изд., стер.

— М.: Высш. шк., 2000. — 383 с:
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ. /Пер. И.И. Глушко; ред. В.И. Нейман. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.
3/ Миллер Б. М., Панков А. Р. Теория случайных процеспроцессов в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -320 с.