Основы информационных технологий

лекция)

Професcор Синицын
Анатолий Константинович

Кафедра ВМиП

(а. 412 – 5к)

А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.:

Выш. Шк., 1988.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007

некоторой задачи
A(Y)=b

Y=F(x)
представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
Yh=Mh(x)
Mh – метод, h – параметр метода

При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится контролируемая параметром h метода погрешность
ε(h)=Y-Yh
Получение зависимости погрешности решения ε(h) от параметров вычислительного метода является одной из основных задач вычислительной математики

погрешность решения εh стремится к нулю, т.е.
при

В этом случае, если удается получить оценку вида


где С - const и не зависит от h, считается, что порядок погрешности равен p и обозначается коротко

дифференцирования:

или коротко




Система ОДУ второго порядка

обычно ставится для ДУ второго порядка




В общем случае

является


Начальные условия


Граничные условия
первого рода второго рода третьего рода
Дирихле Неймана Ньютона

получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в

узлах сетки, покрывающей область определения решения.
Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле



В общем случае

Г - граница многомерной области Ω, внутри которой необходимо получить решение. В рассматриваемом частном случае Ω представляет собой отрезок

узлах выбранной сетки


дифференциальное уравнение

заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах.
Такая система алгебраических уравнений называется конечно-разностной схемой
Обозначим



Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

называемая погрешность аппроксимации конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
подставим в конечно-разностную схему

вместо значения точного решения .
Ввиду того, что , после такой подстановки получается невязка

Погрешность аппроксимации

Основное требование: при

Ассимптотическая оценка

Порядок погрешности аппроксимации = p

решению
кроме

необходима
устойчивость к ошибкам округления

Основная теорема

функций
- Представление решения
- Проекционное уравнение

уравнение



преобразуем

проекционных уравнений





В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему

базисных функций

, определенная для всех

, но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области Ωk⊂Ω, называемой конечным носителем