Особые точки фазового пространства

соответствуют состоянию равновесия АСУ.

Виды особых точек:

Центр
Фокус
Узел
Седло

поведение динамической системы.
Этому уравнению соответствует система двух
Уравнений 1-го

порядка:


Решение характеристического
уравнения примет вид:


Система, очевидно, имеет единственную особую точку -точку равновесия – (0,0).

форма фазовых траекторий.
Особой точке в зависимости от корней характеристического

уравнения присваивается имя собственное:
два действительных отрицательных корня – устойчивый узел.
два действительных положительных корня – неустойчивый узел.
два комплексных корня в левой полуплоскости – устойчивый фокус.
два комплексных корня в правой полуплоскости – неустойчивый фокус.
два мнимых корня – центр.
два действительных корня: один - положительный, другой – отрицательный – седло.

узел»;
– область 2, процессы устойчивые колебательные; «устойчивый фокус»;
–

область 3, процессы неустойчивые колебательные; «неустойчивый фокус»;
– область 4,процессы неустойчивые апериодические; «неустойчивый узел»;
– область 5, процессы неустойчивые; «седло».

На границе областей 2 и 3 в системе возникают незатухающие колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий; точка равновесия типа «центр».

Корни характеристического уравнения - мнимые

корни
с отрицательной вещественной
частью

Устойчивый фокус

узел

один -положительный,
другой – отрицательный
Асимптоты на фазовой плоскости
называются

сепаратрисами седла

производных (равновесное состояние
dy/dt = F1(x,y) = 0;

dx/dt = F2(x,y) = 0, (1)
F1(x,y) F2(x,y) – нелинейные зависимости.

Алгоритм определения типа особых точек:



исходные нелинейные уравнения (1) линеаризуем в окрестности особых точек при малых отклонениях;
определяем корни характеристического уравнения линеаризованной АСУ;
по виду корней определяем тип особой точки.

нелинейных дифференциальных уравнений:

dx/dt

= y*y + x; 1)
dy/dt = x – 2*y. 2)

нечувствительности?