Пересечение прямой линии с поверхностью

самой поверхности Ф с какой-то плоскостью, например, Т, в которую

заключена прямая l.

Наиболее часто плоскость Т принимают проецирующей.

Положение плоскости Т следует выбирать так, чтобы проекции линии пересечения m по возможности имели наиболее простую геометрическую форму – прямой (ломаной) или окружности.

Прямая пересекает поверхность, если она пересекает какую-либо линию, принадлежащую этой поверхности

l ∩ Φ ═ {K1,K2,…}, {K1,K2,…}= l ∩ m ; m ⊂ Φ

m – линия. По возможности на проекциях должна

иметь
наиболее простую геометрическую форму.
Если Т  Пк, то  mк ≡ Тк ≡ lк )

2. l  Т  m  Т  l ∩ m = {К1, К2, …}
 {К1, К2, …} m
m  Φ  {К1, К2, …} Φ
 {К1, К2, …} = l ∩Φ

Общий (краткий) алгоритм построения
точки пересечения прямой с поверхностью

l с поверхностью пирамиды.

Так как при пересечении гранной поверхности плоскостью

всегда образуется ломаная линия, то выбор положения вспомогательной плоскости Т по отношению к какой-либо плоскости проекций не имеет значения.
Выбираем фронтально-проецирующую плоскость.
Совмещаем фронтальную проекцию m2 линии m с фронтальной проекцией l2 прямой l.
l2 ≡ m2
Строим горизонтальную проекцию m1, при условии, что m  Φ (FABCD)
m{1,2,3,4}
1=FA∩T; 2=FB∩T; 3=FC∩T; 4=FD∩T.
Определяем точки К11 и К21 пересечения линии m1 с l1.
m1 ∩ l1={K11 , К21}
Строим фронтальные проекции К12 и К22 точек К1 и К2.

К1 и К2 пересечения прямой l с конической поверхностью Ф.
Так

как коническая поверхность является прямой круговой с вертикальной осью вращения, то все параллели этой поверхности являются горизонталями.
Заданная прямая также является горизонталью.
Следовательно, если прямую l заключить в горизонтальную плоскость уровня, например, Т, то линией пересечения плоскости Т с поверхностью Ф будет одна из параллелей поверхности Ф.

проекции опре-деляем точки К1 и К2 пересечения прямой l и

линии m.
Строим фронтальные проекции точек К1 и К2.
Определяем видимость участков прямой l.

и К2 пересечения прямой l с поверхностью конуса Ф.

две
прямые (образующие) и окружность. Из двух перечисленных сечений в

данном
примере при заключении прямой в плоскость можно получить только сечение в виде
двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет через вершину конуса.

точкой F и самой прямой l. Однако, такой вариант задания

плоскости неудобен. Поэтому зададим плоскость  двумя пересекающимися прямыми: прямой l и прямой a(F,B). Точка В – произвольная точка, принадлежащая прямой l.
 (l, a(F,B(B l)))
Строим линию m пересечения плоскости  и плоскости основания  конуса Ф. Для этого находим точки пересечения прямых l и a с плоскостью основания  конуса Ф, и соединяем их прямой m.
 ∩ Λ(d) = m, m(A,C), А = l ∩ Λ, С = a ∩ Λ
Отмечаем точки D и E пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.
m ∩ d = {D,E}
Строим линии пересечения плоскости  и конической поверхности. Для этого соединяем вершину конуса F с точками D и E.
 ∩ Ф = (FD, FE)
Отмечаем точки К1 и К2 пересечения прямой l с построенными образующими FE и FD.

прямой l с поверхностью цилиндра.

две
прямые (образующие) и окружность. Из двух перечисленных сечений в

данном
примере при заключении прямой в плоскость можно получить только сечение в
виде двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет параллельно
образующим цилиндрической поверхности.

двумя параллельными прямыми a и b, которые парал-лельны образующим цилиндрической

поверх-ности и пересекают прямую l в произвольных точках А и В.
 (a,b); a ‖ b ‖ g; a ∩ l =A; b ∩l =B
Строим линию m пересечения плоскости  и плоскости основания  цилиндра Ф. Для этого находим точки пересечения прямых a и b с плоскостью основания  конуса Ф, и соединяем их прямой m.
 ∩ Λ(d) = m, m(C,D), C = a ∩ Λ, D = b ∩ Λ
Отмечаем точки E и L пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.
m ∩ d = {L,E}
Строим линии пересечения плоскости  и ци-линдрической поверхности. Для этого через точки L и E проводим прямые g1 и g2 парал-лельно образующим цилиндрической поверх-ности.
 ∩ Ф = (g1,g2); Eg1; Lg2; g1 ‖ g2 ‖ g;
Отмечаем точки К1 и К2 пересечения прямой l с построенными образующими g1 и g2.

с поверхнос-тью сферы.

Совмещаем горизонтальную проекцию m1 линии m с горизон-тальной

проекцией прямой l.
m1 ≡ l1
Линия m – окружность, но ее фронтальная проекция имеет форму эллипса.
Использование m2 ≡ l2 дает тот же результат.
Следовательно, должна быть построена дополнительная проекция.

окружности. Однако, если секущая плоскость не параллельна плоскости проекций, то

проекция окружности будет иметь вид эллипса. Т.е. фигуры сложной в построении. Но, если подобрать дополнительную плоскость проекций параллельно фигуре сечения, то мы получим ее истинное изображение.
Если вспомогательную секущую плоскость, в которую заключают заданную прямую, принять проецирующей, то и параллельная ей плоскость также будет проецирующей, что полностью удовлетворяет требованиям способа замены (перемены) плоскостей проекций.
Следовательно, данная задача должна быть решена способом замены (перемены) плоскостей проекций.

П1; l  T  l1  T1;
Плоскость Т пересекает

сферическую поверхность по линии m.
Т ∩ Ф = m  m  T  m1 ≡ l1 ≡ T1
Дополнительную плоскость проекций П4 располагаем параллельно линии m и перпендикулярно плоскости П1.
(П4II m, П4  Т)  x1,4 ‖ (m1 ≡ l1)
На поле плоскости П4 строим проек-ции прямой l и линии m.
m4 , l4
Определяем точки K14 , К24 пересече-ния линий m4 и l4.
{K14 , К24} = m4 ∩ l4
Строим горизонтальные и фронталь-ные проекции точек К1 и К2.