перпендикуляр и наклонные

точки А к плоскости α.Точка Н – основание перпендикуляра.
Отрезок АМ

∆АМН – прямоугольный. АН – катет, АМ – гипотенуза. Поэтому АН < АМ.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Решите задачи: № 138а, 139

к плоскости две наклонные, то: 1) если наклонные равны, то

А

В

С

М

O

Важная задача: Если точка равноудалена от всех вершин n - угольника, то она проецируется в центр описанной около n - угольника окружности.

Верно и обратное утверждение: Если точка лежит на перпендикуляре, проходящем через центр описанной около многоугольника окружности, то она равноудалена от вершин этого многоугольника

Решите: № 140, 143

2.

В

С

М

O

А

Дано: ΔABC-правильный, АВ=6см, МЄ (АВС), АМ=ВМ=СМ=4см. Найдите расстояние от М до (АВС).

β,значит АА0ll ММ0. Отсюда следует, что АА0 = ММ0 (по

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

Если αllβ, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

точки этой прямой равноудалены от этой плоскости.
α
а
β
1) Через какую –

№59: через точку, не лежащую в плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

2) а є β, т.к. в противном случае она пересекает пл. β, а значит и пл. α (№55), что невозможно.

№55: Если прямая пересекает плоскость, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости

3)Все точки пл. β, а значит и прямой а равноудалены от плоскости α.

а ll β

от плоскости. Расстояние от произвольной

Расстояние между скрещивающимися прямыми

а

По теореме о скрещивающихся прямых(п.7) через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

b

α

а ll α

d

d – искомое расстояние

перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к

Дано: АН – перпендикуляр к пл.α; АМ- наклонная; а α, М є а, а НМ. Доказать: а АМ

Доказательство: Рассмотрим плоскость АМН.

Т.к. а НМ по условию и а АН, потому что АН α, то: а (АМН). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, т.е. наклонной АМ. Теорема доказана.

Три перпендикуляра: АН, НМ и АМ.

Верна и обратная теорема – задача № 153.

– ромб.
A
B
F
a
b
C
D
ABCD – ромб.

она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности.
М
L
A
B
K
C
N
O
Дано:

Доказательство: 1) Проведём МО (АВС).

2) ML AB, ML – наклонная, OL – проекция, значит OL AB. Аналогично OK BC, ON AC. 3) OL = OK = ON ( как проекции равных наклонных). 4) Точка О равноудалена от всех сторон n – угольника, следовательно является центром вписанной в него окружности.

Верно и обратное утверждение: Если точка лежит на перпендикуляре, проведённом через центр вписанной в многоугольник окружности, то она равноудалена от сторон этого многоугольника.

перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не

Свойства параллельного проектирования(проек -тируемые фигуры не параллельны прямой проектирования):

1. Проекция прямой есть прямая. 2. Проекция отрезка есть отрезок. 3. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой. 4. Проекции параллельных отрезков параллельны самим отрезкам. Проекция середины отрезка есть середина отрезка.

прямой, является прямая.
Угол между прямой и плоскостью
α
β
а
а1
М
М1
Н1
Н
Углом между прямой и

φ0

М

А

Н

α

от другой стороны квадрата до этой плоскости равно 6. Hайти

А

В

С

D

М

Ответ: 60º

6.

Через большее основание прямоугольной трапеции проведена плоскость, составляющая с большей боковой стороной угол в 30º. Меньшее основание отстоит от плоскости на расстояние 8см. Найти периметр трапеции, если известно, что внеё можно вписать окружность, и острый угол равен 60º.

А

В

С

D

C1

E

Ответ: 32 + 16 3