Планирование эксперимента

выбрать интервал варьирования фактора и количество уровней, на которых необходимо

Планирование многофакторного эксперимента представляет более сложную задачу, поскольку необходимо определить не только интервалы варьирования и количество уровней каждого из факторов, но и порядок их изменения — план эксперимента.

в ходе эксперимента, бывают:
планы первого порядка, предназначенные для поиска коэффициентов

Y — параметр

k — количество факторов

Xi — i-й фактор

b0, bi — искомые коэффициенты

(5.1)

1. Классификация планов

уравнением
j — порядковый номер, отличный от i, причем j 

(5.2)

(5.3)

при котором выполняется перебор всех возможных сочетаний факторов
дробный факторный эксперимент

Кодирование факторов
Областью определения факторов называется диапазон изменения их значений, принятый

Для двухфакторного эксперимента область определения представляет собой прямоугольник

(5.4)

параллелепипед

Экспериментатор может устанавливать любой уровень фактора в пределах области его

Различают верхний, нижний и нулевой уровни.

Верхний и нижний уровни соответствуют границам области определения Xi max и Xi min

Нулевой уровень соответствует середине интервала (5.4):

(5.5)

Интервалом варьирования называют величину, равную максимальному отклонению уровня фактора от нулевого

(5.6)

значений факторов к кодированным
Кодированные значения любого фактора на нижнем, верхнем

Область определения кодированных факторов для двухфакторного эксперимента представляет собой квадрат, для трехфакторного — куб, для k-факторного — k-мерный куб

(5.7)

xi min = –1

xi max = 1

xi 0 = 0

экспериментальных данных дает преимущества:
кодированные значения безразмерны, что позволяет сравнивать между

кодированное значение уровня фактора, в отличие от натурального, дает представление о положении уровня относительно границ интервала

использование кодированных значений значительно облегчает разработку матрицы планирования эксперимента

одинаковых интервалах [–1; +1], то все коэффициенты полинома имеют одинаковую

в виде матрицы планирования — таблицы, каждая стро-ка которой соответствует

Существует несколько приемов построения матрицы. При фиксации каждого фактора только на двух уровнях (–1 и +1), наиболее распространен прием чередования знаков

Прием состоит в том, что для первого фактора знак меняется в каждой следующей строке, для второго — через две строки, для третьего — на каждой четвертой строке и т.д.

их составления:
1. Свойство симметричности — каждый фактор в матрице на верхнем

u — номер опыта

(5.8)

n — количество опытов, n = 2k.

2. Свойство нормировки — каждый фактор в матрице встречается только на уровнях –1 и +1:

(5.9)

их составления:
3. Свойство ортогональности — суммы почленных произведений двух любых столбцов

(5.10)

4. Свойство ротабельности — точки в матрице выбираются так, что точность предсказания параметра одинакова во всех направлениях

возрастает количество опытов ПФЭ: при 5-и факторах оно равно 32,

Существует методика уменьшения числа опытов — дробный факторный эксперимент, план которого представляет собой некоторую часть (½, ¼ и т.д.) плана ПФЭ

Кроме того, значительно возрастает число степеней свободы, т.е. число избыточных значе-ний Yu при нахождении коэффициентов поли-нома. Для ПФЭ 25 необходимо найти 6 коэффициентов, следовательно число степеней свободы 32 – 6 = 24.

в матрице новой незави-симой переменной
Способом чередования знаков заполняются столб-цы не

Поскольку в линейной модели (5.1) эффекты взаимодействия между несколькими факторами не учитываются, уровни оставшихся факторов получаются с использованием некоторых генерирующих соотношений между факторами первой группы

Например, для случая четырех факторов, когда факторы х1, х2 и х3 являются свободными, для получения значений фактора х4 можем использовать такие генерирующие соотношения:

эксперимента мы пренебрегаем эффектом взаимодействия соответствующих факторов.
(5.11)
Так, выбрав вариант

коэффициентов не будут раздель-ными, как в ПФЭ
Оценка b4 будет смешана

Аналогично получим
Умножив генерирующее соотношение на фактор, стоящий слева, получим
или, учитывая,

Умножив левую и правую части определяющего контраста на фактор xi, получим ответ, какой эффект смешан. Например, для фактора x1

смешаны оценки коэффициентов b12 и b34
Разрешающая способность матрицы тем выше,

линейным уравнением не удается, то переходят к планам второго порядка.
Для

При небольшом количестве факторов можно варьировать каждый фактор на трех уровнях — верхнем, нижнем и нулевом — ПФЭ 3k.

Однако, переход к ПФЭ на трех уровнях связан с постановкой большого числа опытов. Так, для четырех факторов ПФЭ 34 требует 34 = 81 опыт, а ПФЭ 35 — 243

которых план типа ПФЭ 2k, используемый в качестве “ядра”, дополняется

“Звездные” точки отстоят от центра плана на расстоянии α, называемом “плечом”.

Оптимальная величина “плеча” зависит от числа свободных факторов

Общее количество опытов с использованием «звездных» точек составляет

с использованием “звездных” точек одинаковы.
С увеличением числа факторов разница

Наибольшая экономия количества опытов может быть достигнута при использовании в качестве ядра дробного факторного эксперимента.