ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Лекция 4 1

величинами, но и дать качественную характеристику этой связи.
В качестве

такой меры служит коэффициент корреляции.

rxy;
корреляционное отношение ηxy;
множественный коэффициент корреляции Ri.jklm… и частный

выборочный коэффициент корреляции rij.klm…;
ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла.

случайными величинами X и Y.
Определяется корреляционное отношение на основе

межгрупповой и общей дисперсий измеряемой величины (принимаем, что на изменчивость случайной величины Y влияют значения случайной величины X).

где y – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины Y,

оцененное по экспериментальным данным;
nj – частота встречи значения yj ;
m – общее число значений yj ;
N – общее число проведенных экспериментов.

группировку значений переменной Y в зависимости от значений переменной X,

т.е. отдельно «собрать» все yj , которые были отмечены при значении x1, отдельно «собрать» все yj , которые были отмечены при значении x2 и т.д. По каждой полученной группе оценить средние значения величины у, обозначив их yi .

функциональной зависимости между случайными величинами X и Y;
ηyx =

0 – отсутствие какой-либо связи между случайными величинами X и Y;
0 < ηyx <1 - наличие статистической связи между случайными величинами X и Y.
2. ηyx ≠ ηxy .

только по результатам последнего уже выносить «приговор» зависимости между двумя

случайными величинами:
если rxy = 0 , ηyx =1 – между случайными величинами X и Y наблюдается функциональная зависимость, но она носит нелинейный характер;
если rxy = 0, ηyx = 0 – между случайными величинами X и Y не наблюдается какой-либо зависимости.

значение критерия определяется по формуле:


где N – общее число опытов;
m

– число полученных групп при определении межгрупповой дисперсии (фактически, это число значений случайной величины X).
Корреляционное отношение признается значимым (т.е. основная гипотеза отвергается), если

равно как и частный выборочный коэффициент корреляции, определяются в случае

выявления зависимостей между случайными величинами, чье количество превышает два.
Разница между этими двумя коэффициентами состоит в следующем:
множественный коэффициент корреляции оценивает влияние нескольких (больше двух) факторов на параметр оптимизации;
частный выборочный коэффициент корреляции оценивает зависимость между двумя параметрами (между двумя факторами, между фактором и параметром оптимизации и т.п.) при исключении влияния остальных параметров взаимодействия.

которой являются парные выборочные линейные коэффициенты корреляции между взаимодействующими случайными

величинами.
По главной диагонали данной матрицы располагаются единицы, а сама матрица – симметрична относительно главной диагонали.

«коэффициент корреляции на случайную величину J случайных величин 1, 2,

…, К»)
где
IqI - определитель корреляционной матрицы;
qjj – алгебраическое дополнение соответствующего элемента корреляционной матрицы.

число опытов;
k – число переменных во взаимодействии.

Множественный коэффициент

корреляции признается значимым, если

алгебраические дополнения соответствующих элементов корреляционной матрицы.
(Данное обозначение следует читать

как «взаимодействие между случайными величинами I и J при исключении влияния остальных случайных величин»)

где N – общее число опытов.
Частный выборочный коэффициент корреляции

признается значимым , если

где k – число переменных во взаимодействии.
Свойства множественного и частного коэффициентов корреляции совпадают со свойствами корреляционного отношения и парного линейного выборочного коэффициента корреляции соответственно.

свою необходимость, не позволяют, однако, оценивать зависимости качественных переменных.
В

лучшем случае качественные показатели можно подвергнуть процедуре ранжировки, но это не сделает их количественными, а значит – применять описанные выше показатели связи нельзя.

и Кендалла.
Оба эти коэффициента оценивают совпадение (или не совпадение)

рангов двух совокупностей по одному ранжируемому признаку.

Спирмена, необходимо, прежде всего, определиться по какому признаку будет производиться

ранжирование.
Затем провести оценку рангов по этому признаку для двух совокупностей.

– ранги i-го объекта по совокупностям X и Y;
n

– число пар наблюдений.

признака ранжирования в одной совокупности существуют одинаковые ранговые значение.
Такие

случаи называются случаями со связанными рангами.
Если невозможно решить, какие ранги приписать этим объектам, им всем приписывается одинаковый средний ранг.

по какой из двух формул он вычислялся, производится по критерию

согласия Стьюдента.
Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле:


где n –число пар наблюдений.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена признается значимым (т.е. основная гипотеза отвергается), если

корреляции Кендалла, необходимо провести ранжировку исследуемого объекта в порядке возрастания

рангов по одной переменной и определить, сколько раз произошло нарушение порядка следования рангов по другой переменной (инверсия).

Величина К, называемая статистикой Кендалла, равна общему числу инверсий в

ранговой последовательности.

Стьюдента.
Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле:


где n –число пар

наблюдений.

из выражения Φ(t 1−α ) =1− α;
Ф(t1–α) – функция

Лапласа.

– число анализируемых совокупностей.

объектов n ≥ 7.

0 ≤ W ≤1, причем W =

1, если все совокупности совпадают между собой по рангам.

значение критерия определяется по формуле:
KW = m(n −1)W ,

где n – число объектов;
m – число анализируемых совокупностей.

значение χ2-распределения Пирсона при уровне значимости α

с числом степеней свободы (n – 1).