Понятие о точечном источнике и стоке. Метод суперпозиции

месторождений осуществляется не единичными скважинами. Для обеспечения необходимого уровня добычи

жидкости или газа нужно определенное количество скважин. Сумма дебитов этих скважин должна обеспечить заданный отбор из месторождения. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности, в зависимости от параметров пластов и свойств насыщающих их флюидов. При этом возникают гидродинамические задачи определения давлений на забоях скважин при заданных дебитах или определения дебитов скважин при заданных из технических или технологических соображений забойных давлений.

учитывать, что при работе скважин наблюдается их взаимное влияние друг

на друга – интерференция скважин. Это влияние выражается в том, что при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча из месторождения растет медленнее, чем число скважин.

рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте

единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения.
Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).
Потенциал течения выразим как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.

сравнив с законом Дарси видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой:

является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то

можно воспользоваться формулой фильтрации для такого потока:

где

- дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.

Для плоскорадиального потока:

откуда:

С – постоянная интегрирования.
Потенциал в окрестности скважины – стока пропорционален

логарифму расстояния r от стока (центра скважины). При и
функция обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Потенциал точечного стока в пространстве, движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации

откуда:

дебита меняется на противоположный.
Распределение давления и потенциал в установившихся потоках

несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф1(x,y), Ф2(x,y),….., Фn(x,y), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа

неограниченной плоскости (а) и результирующий вектор скорости фильтрации в точке

М (б).

то и сумма (где Сi – произвольные постоянные) также удовлетворяют уравнению Лапласа.

пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой

каждой скважины, подчиняется так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины по правилам сложения векторов.

Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формулам:

Где r1, r2,…..rn – расстояние от первого, второго,….n-го стоков до точки М; С1, С2,…Сn – постоянные.

удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда сумма потенциалов:

также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений.

питания.
Дано: Горизонтальный пласт, толщиной h; А1, А2,…,Аn – группа скважин

с радиусом rci, которые работают с различными забойными потенциалами Фci, i = 1,2,…,n, Фк – потенциал на контуре питания. Расстояние между центрами i – й и j- й скважин известны. Контур питания находится далеко от всех скважин, поэтому можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура одно и тоже и равно .
Определить: дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта.

- дебит скважины – стока, приходящейся на единицу толщины пласта;

r1,r2,…,rn – расстояние от первого, второго, n – го стоков до точки М;
С1, С2,…,Сn - постоянные.
С = С1 + С2 +Сn.

забойного потенциала на них в виде:









Дополнительное уравнение получаем, поместив точку

М на контур питания:

из n уравнений, из которой можно определить дебиты скважин q1,q1,…,qn,

если заданы забойные и контурные потенциалы Фс1, Фс2,…, Фcn, Фк. Таким образом, можно решить обратную задачу определения потенциалов по известным дебитам qi (i = 1,2,…,n).

Имеем:

давлениям:





………………….....
полная потеря давления на стенке любой

скважины равна сумме потерь давления от работы всех скважин:

сумма скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины , и направлена

по радиусу от точки М к данной скважине-стоку:

полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания, на котором потенциал равен

Фк, работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Фс.
Определить: дебит скважины q, потенциал и скорость фильтрации в любой точке пласта. Для решения этой задачи используем метод отображения источников и стока.
Рассмотрим в бесконечном пласте совместную работу двух скважин: скважины стока А(аналог добывающей скважины) с дебитом q и скважины – источника А(аналог нагнетательной скважины) с дебитом q. Потенциал в любой точке М, находящейся на расстоянии r1, от скважины А и r2 от скважины А:

питания.

скважины А и r2 от скважины А:
Потенциал на контуре питания

можно выразив подставив в r1 = r2 , в результате чего получаем:

Тогда потенциал на забое скважины А можно выразить следующим образом:

, получим в следующем виде:
Если бы контур питания был окружностью

радиуса a, то дебит определялся бы по формуле Дюпюи.

На практике часто форма контура питания бывает неизвестна, но очевидно, что контур питания располагается между окружностью и прямой линией.

точке М воспользуемся формулой:

скважины-стока А и фиктивной скважины-стока А’
Где

и направлена к скважине А

и направлена от скважине А’

притоке жидкости к одной бесконечной цепочке скважин, расположенных на расстояниях

2σ друг от друга и на расстоянии L от прямолинейного контура питания. На контуре питания будет постоянный потенциал Фк, а на забоях скважин - Фс . Определим дебит каждой скважины и суммарный дебит n скважин в цепочке. Цепочка скважин-стоков отображается зеркально относительно контура питания в скважины-источники, и рассматривается интерференция двух цепочек скважин в неограниченном пласте.

- геперболический синус.


При L > σ, , тогда дебит скважины определяется:

,




Получаем формулу аналогичную закону Ома:


По терминологии Борисова величина:

ρ - внешнее фильтрационное сопротивление батареи,
ρ’ - внутреннее фильтрационное сопротивление батареи

эквивалентных фильтрационных сопротивлений
Суммарный дебит прямолинейной цепочки из n скважин:

фильтрационного сопротивления цепочки: ρ = μL/(kh2σn) = μL/(khB), которое представляет

собой сопротивление потоку жидкости от контура питания до галереи длиной B = 2σn, расположенной на расстоянии L от контура питания, а внутреннее сопротивление ρ’ = μLn(σ/Пrc)/2пkhn выражает сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам в зоне радиусом r = σ/П , где фильтрация практически плоскорадиальная.

параллельными цепочками скважин с числом скважин в каждой n1, n2,

n3. Пусть скважины в каждой цепочке имеют одинаковые радиусы rc1, rc2,rc3. И забойные давления pc1, pc2, pc3, суммарные дебиты цепочек составляют Q1, Q2, Q3.

расстояние от контура питания до первой цепочки скважин

L2 – расстояние между первой и второй цепочками

L3 – между второй и третьей

круговой батареи скважин определяется по формуле:

- внешнее фильтрационное
сопротивление

- внутреннее фильтрационное
сопротивление

А внутреннее сопротивление:




μ – вязкость (мПа-с)
k – проницаемость (мкм2)
h – мощность галереи (м)
B – длина галереи (м)
R – радиус батареи (м)

R1, R2, R3 – радиусы батарей.

Q =

μ – вязкость (мПа-с)
k –

проницаемость (мкм2)
h –мощность галереи (м)
pk – давление на контуре (МПа)
pс – давление на забое (МПа)
R – расстояние от соответствующей скважины до контура питания (м)

ряда скважин (работающих в одинаковых условиях) прирост суммарного дебита уменьшается.

Кривая зависимости суммарного дебита от числа скважин с их ростом становится все более пологой.

Чем ближе расположены скважины друг
к другу, тем сильнее сказывается эффект
интерференции и тем меньшим оказыва-
ется суммарный дебит.

Большое влияние на суммарную добычу
оказывает расстояние от действующих ск.
до контура области питания или до цепоч.
нагнетательных скваж. При приближении
нагнетательных скважин к добывающим
эффект взаимодействия между ними
уменьшается, и их дебиты увеличиваюся.