Предложения эквивалентные пятому постулату Евклида

физики 34 группы
Русанов Андрей Григорьевич.

обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V

постулату и принадлежащая Проклу.
За рубежом её часто называют аксиомой Плейфера: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

«одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или

«не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.
Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными.

равные треугольники. (аксиома Валлиса, 1693г.)
Через любую точку,

взятую вне прямой плоскости определяемой этой точкой и прямой, проходит прямая параллельная данной и причем только одна.
Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

– есть величина постоянная.
Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

Существует треугольник сколь угодно большой площади.
Прямая, проходящая через точку внутри острого угла, пересекает, по крайней мере, одну его сторону (аксиома Лоренца, 1791г.)

угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются.
Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

(по одну её сторону), образуют прямую.
Если две прямые

начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756г.)
Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
Сумма углов одинакова у всех треугольников.

и друг другу (аксиома Остроградского, 1855г.)
Через любые три

точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность.
Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга.

его основания.
Внешние углы треугольника равны сумме углов не

смежных с ним.
Высоты треугольника всегда пересекаются.

что все они могут быть доказаны, если принять V постулат,

и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.
Если вместо V постулата допустить, что для пары точка—прямая, V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского.
Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

быть известны различные формы постулата о параллельных. Почему же он

выбрал приведенную, сложную и громоздкую формулировку? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора.
В. П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой.
М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой.

актуальную бесконечность, например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой,

а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать».
С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны.

/ Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай - Болтовского при

редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М.-Л.: ГТТИ, 1948.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
Гильберт Д. Основания геометрии. — Л.: Сеятель, 1923. — 152 с.
История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. — М.: Наука, 1972.
Каган В. Ф. Геометрия Лобачевского и её предыстория. — М.—Л.: 1949.

Какие еще Вам известны эквиваленты пятого постулата Евклида?
Какова

была точка зрения античных математиков, на вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных?
Назовите хотя бы одну причину, почему же Евклид выбрал сложную и громоздкую формулировку пятого постулата?